Uma canaleta é constituída por dois quadrantes com centros e de raios iguais a R como mostra a figura abaixo. Uma esfera é abandonada da posição A a uma altura , em relação a horizontal que passa pelo ponto de inflexão curvilínea. Desprezando todos os tipos de atrito, determinar em que a posição da segunda seção, definida pelo ângulo , a pequena esfera sai da superfície.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui. Temos uma canaleta formada por dois arcos perfeitos, cada um com raio igual a . Uma esfera é solta de uma altura em relação à parte mais baixa da canaleta. A gente quer descobrir em que ponto, medido pelo ângulo , essa esfera vai sair da superfície da canaleta. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de energia e forças em movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a conservação de energia para encontrar a velocidade da esfera em qualquer ponto da canaleta. A energia total no ponto de partida (A) é apenas a energia potencial, já que a velocidade inicial é zero.
A energia potencial inicial é:
Quando a esfera está em um ponto qualquer na canaleta, ela tem energia potencial e cinética. A altura nesse ponto é , então a energia potencial é:
A energia cinética é:
Pela conservação de energia:
Podemos simplificar dividindo tudo por :
Rearranjando para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos analisar as forças atuando na esfera quando ela está em contato com a canaleta. Há duas forças principais: a força gravitacional e a força normal da canaleta sobre a esfera. Quando a esfera começa a perder contato, a força normal é igual a zero.
No ponto onde a esfera está passando pelo ângulo , a componente da força gravitacional que aponta para o centro da curva é . Essa força, junto com a força centrípeta necessária para manter o movimento circular, deve ser igual à força centrípeta requerida:
Substituindo da etapa anterior:
Simplificando:
Podemos dividir ambos os lados por :
Distribuindo o 2:
Somando aos dois lados:
Finalmente, isolando :

Resposta

A esfera sai da superfície quando o ângulo satisfaz . Portanto, a posição é dada por:
Isso corresponde a aproximadamente .

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