Uma canaleta é constituída por dois quadrantes com centros O1 e O2 de raios iguais a R como mostra a figura abaixo. Uma esfera é abandonada da posição A a uma altura h=R / 5, em relação a horizontal que passa pelo ponto de inflexão curvilínea. Desprezando todos os tipos de atrito, determinar em que a posição da segunda seção, definida pelo ângulo theta, a pequena esfera sai da superfície.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui. Temos uma canaleta formada por dois arcos perfeitos, cada um com raio igual a . Uma esfera é solta de uma altura em relação à parte mais baixa da canaleta. A gente quer descobrir em que ponto, medido pelo ângulo , essa esfera vai sair da superfície da canaleta. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de energia e forças em movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a conservação de energia para encontrar a velocidade da esfera em qualquer ponto da canaleta. A energia total no ponto de partida (A) é apenas a energia potencial, já que a velocidade inicial é zero.
A energia potencial inicial é:
Ep = mgh = mg(R5)
Quando a esfera está em um ponto qualquer na canaleta, ela tem energia potencial e cinética. A altura nesse ponto é Ep = mgy = mgR costheta , então a energia potencial é:
Ek = 12mv^2
A energia cinética é:
mg(R5) = mgR costheta + 12mv^2
Pela conservação de energia:
R5 = R costheta + v^22g
Podemos simplificar dividindo tudo por v^2 = 2g(R5 - R costheta) = 2gR(15 - costheta) :
Rearranjando para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos analisar as forças atuando na esfera quando ela está em contato com a canaleta. Há duas forças principais: a força gravitacional mv^2R = mg costheta e a força normal m cdot 2gR(15 - costheta)R = mg costheta da canaleta sobre a esfera. Quando a esfera começa a perder contato, a força normal 2g(15 - costheta) = g costheta é igual a zero.
No ponto onde a esfera está passando pelo ângulo 2(15 - costheta) = costheta , a componente da força gravitacional que aponta para o centro da curva é 25 - 2costheta = costheta . Essa força, junto com a força centrípeta necessária para manter o movimento circular, deve ser igual à força centrípeta requerida:
25 = 3costheta
Substituindo costheta = 215 da etapa anterior:
Simplificando:
Podemos dividir ambos os lados por :
Distribuindo o 2:
Somando aos dois lados:
Finalmente, isolando :

Resposta

A esfera sai da superfície quando o ângulo theta = arccos(215) satisfaz . Portanto, a posição é dada por:
Isso corresponde a aproximadamente .

Exercícios relacionados