Uma canaleta é constituída por dois quadrantes com centros
e
de raios iguais a R como mostra a figura abaixo. Uma esfera é abandonada da posição A a uma altura
, em relação a horizontal que passa pelo ponto de inflexão curvilínea. Desprezando todos os tipos de atrito, determinar em que a posição da segunda seção, definida pelo ângulo
, a pequena esfera sai da superfície.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui. Temos uma canaleta formada por dois arcos perfeitos, cada um com raio igual a
. Uma esfera é solta de uma altura
em relação à parte mais baixa da canaleta. A gente quer descobrir em que ponto, medido pelo ângulo
, essa esfera vai sair da superfície da canaleta. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de energia e forças em movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a conservação de energia para encontrar a velocidade da esfera em qualquer ponto da canaleta. A energia total no ponto de partida (A) é apenas a energia potencial, já que a velocidade inicial é zero.
A energia potencial inicial é:
Quando a esfera está em um ponto qualquer na canaleta, ela tem energia potencial e cinética. A altura nesse ponto é
, então a energia potencial é:
A energia cinética é:
Pela conservação de energia:
Podemos simplificar dividindo tudo por
:
Rearranjando para encontrar
:
Passo 3
Agora, vamos analisar as forças atuando na esfera quando ela está em contato com a canaleta. Há duas forças principais: a força gravitacional
e a força normal
da canaleta sobre a esfera. Quando a esfera começa a perder contato, a força normal
é igual a zero.
No ponto onde a esfera está passando pelo ângulo
, a componente da força gravitacional que aponta para o centro da curva é
. Essa força, junto com a força centrípeta necessária para manter o movimento circular, deve ser igual à força centrípeta requerida:
Substituindo
da etapa anterior:
Simplificando:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Distribuindo o 2:
Somando
aos dois lados:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A esfera sai da superfície quando o ângulo
satisfaz
. Portanto, a posição é dada por:
Isso corresponde a aproximadamente
.