Uma canaleta é constituída por dois quadrantes com centros
e
de raios iguais a R como mostra a figura abaixo. Uma esfera é abandonada da posição A a uma altura
, em relação a horizontal que passa pelo ponto de inflexão curvilínea. Desprezando todos os tipos de atrito, determinar em que a posição da segunda seção, definida pelo ângulo
, a pequena esfera sai da superfície.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui. Temos uma canaleta formada por dois arcos perfeitos, cada um com raio igual a
. Uma esfera é solta de uma altura
em relação à parte mais baixa da canaleta. A gente quer descobrir em que ponto, medido pelo ângulo
, essa esfera vai sair da superfície da canaleta. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de energia e forças em movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a conservação de energia para encontrar a velocidade da esfera em qualquer ponto da canaleta. A energia total no ponto de partida (A) é apenas a energia potencial, já que a velocidade inicial é zero.
A energia potencial inicial é:
Quando a esfera está em um ponto qualquer na canaleta, ela tem energia potencial e cinética. A altura nesse ponto é
, então a energia potencial é:
A energia cinética é:
Pela conservação de energia:
Podemos simplificar dividindo tudo por
:
Rearranjando para encontrar
:
Passo 3
Agora, vamos analisar as forças atuando na esfera quando ela está em contato com a canaleta. Há duas forças principais: a força gravitacional
e a força normal
da canaleta sobre a esfera. Quando a esfera começa a perder contato, a força normal
é igual a zero.
No ponto onde a esfera está passando pelo ângulo
, a componente da força gravitacional que aponta para o centro da curva é
. Essa força, junto com a força centrípeta necessária para manter o movimento circular, deve ser igual à força centrípeta requerida:
Substituindo
da etapa anterior:
Simplificando:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Distribuindo o 2:
Somando
aos dois lados:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A esfera sai da superfície quando o ângulo
satisfaz
. Portanto, a posição é dada por:
Isso corresponde a aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Na figura abaixo, duas pequenas esferas de
cada uma, estão ligadas a uma haste rígida de
e massa desprezível. As esferas são abandonadas dentro de uma superfície semicilíndrica de raio de 2 m. Se o atrito não é muito intenso, determine a energia dissipada devido ao atrito depois de um tempo muito longo. (
)
Uma corrente uniforme de comprimento
e massa
está situada numa tábua absolutamente lisa. Uma pequena parte da corrente foi introduzida numa abertura na tábua.
No momento inicial o extremo da corrente, que se encontrava sobre a tábua, estava fixo, mas depois foi liberado e a corrente começou a mover-se sob a ação da força da gravidade na parte da corrente que ficou pendurada fora da tábua. Determinar a velocidade de movimento da corrente no momento em que o comprimento da parte pendurada da corrente é . Determinar, para esse mesmo momento, a aceleração da corrente e a reação do extremo da tábua.
No momento inicial o extremo da corrente, que se encontrava sobre a tábua, estava fixo, mas depois foi liberado e a corrente começou a mover-se sob a ação da força da gravidade na parte da corrente que ficou pendurada fora da tábua. Determinar a velocidade de movimento da corrente no momento em que o comprimento da parte pendurada da corrente é
A figura a baixo mostra um sistema mecânico em equilíbrio com uma mola de constante elasticidade
de extensão natural 5 m, ligados nas suas extremidades a duas esferas de massa
. Quando o cabo é cortado no ponto A, qual a deformação máxima sofrida pela mola. O comprimento da corda é
A figura abaixo mostra uma estrutura em forma de
de peso desprezível. Nas suas extremidades estão fixadas duas esferas de massa m cada. Se abandonada da posição indicada, qual será a máxima energia cinética adquirida pelo sistema? A estrutura pode girar livremente em torno da rótula A.