Uma corrente uniforme de comprimento
e massa
está situada numa tábua absolutamente lisa. Uma pequena parte da corrente foi introduzida numa abertura na tábua.
No momento inicial o extremo da corrente, que se encontrava sobre a tábua, estava fixo, mas depois foi liberado e a corrente começou a mover-se sob a ação da força da gravidade na parte da corrente que ficou pendurada fora da tábua. Determinar a velocidade de movimento da corrente no momento em que o comprimento da parte pendurada da corrente é
. Determinar, para esse mesmo momento, a aceleração da corrente e a reação do extremo da tábua.
No momento inicial o extremo da corrente, que se encontrava sobre a tábua, estava fixo, mas depois foi liberado e a corrente começou a mover-se sob a ação da força da gravidade na parte da corrente que ficou pendurada fora da tábua. Determinar a velocidade de movimento da corrente no momento em que o comprimento da parte pendurada da corrente é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corrente uniforme de comprimento total
e massa
que está em uma tábua sem atrito. Uma parte dela está passando por uma abertura na tábua e inicialmente estava fixa, mas depois foi liberada. A corrente começa a se mover por causa da força da gravidade na parte que está pendurada fora da tábua. Nosso objetivo é encontrar:
- A velocidade da corrente quando o comprimento da parte pendurada é
, onde . - A aceleração da corrente nesse mesmo momento.
- A reação no extremo da tábua.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Dinâmica, especificamente as Leis de Newton e princípios de conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a massa da corrente está distribuída. A corrente tem comprimento total
e massa total
, então a densidade linear de massa (massa por unidade de comprimento) é:
Isso significa que um pedaço de comprimento
tem massa
.
Passo 3
Quando a corrente está se movendo, uma parte dela está pendurada fora da tábua. A força que faz a corrente se mover é a força gravitacional agindo sobre a parte pendurada. Vamos calcular essa força.
A massa da parte pendurada é
, então a força gravitacional é:
onde
é a aceleração da gravidade (
).
Passo 4
Agora, aplicamos a segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa total multiplicada pela aceleração:
Aqui, a força resultante é a força gravitacional que acabamos de calcular, e a massa que está acelerando é a massa da parte que está se movendo, que é a parte pendurada mais a parte que ainda está sobre a tábua.
A massa total em movimento é:
Então, a equação fica:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a velocidade da corrente no momento em que o comprimento pendurado é
. Para isso, podemos usar a conservação da energia ou integrar a aceleração em relação ao tempo. Aqui, vamos usar a energia potencial.
A energia potencial perdida pela parte pendurada que cai é convertida em energia cinética da corrente.
A energia potencial perdida é:
A energia cinética da corrente é:
Igualando as duas:
Cancelando
e resolvendo para
:
Mas parece que houve um erro na integração. Vamos refazer de forma correta.
Na verdade, a velocidade pode ser encontrada integrando a aceleração em relação ao deslocamento. Sabemos que:
Usando a relação
, temos:
Integrando ambos os lados:
Considerando que na posição inicial
, a velocidade
, então
. Assim:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tomando a raiz quadrada:
Simplificando:
Passo 6
Finalmente, vamos determinar a reação no extremo da tábua. A reação é a força que a tábua exerce para sustentar a parte da corrente que ainda está sobre ela.
A força total sobre a corrente é a soma das forças: a reação
e a força gravitacional sobre a parte pendurada. Como a corrente está acelerando, a soma das forças é igual à massa total vezes a aceleração.
Então:
Calculando:
Isso indica que toda a força gravitacional está sendo usada para acelerar a corrente, e não há força residual na tábua.
Resposta
A velocidade da corrente quando o comprimento pendurado é
é:
A aceleração da corrente nesse momento é:
E a reação no extremo da tábua é zero.
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