Uma corrente uniforme de comprimento e massa está situada numa tábua absolutamente lisa. Uma pequena parte da corrente foi introduzida numa abertura na tábua.
No momento inicial o extremo da corrente, que se encontrava sobre a tábua, estava fixo, mas depois foi liberado e a corrente começou a mover-se sob a ação da força da gravidade na parte da corrente que ficou pendurada fora da tábua. Determinar a velocidade de movimento da corrente no momento em que o comprimento da parte pendurada da corrente é . Determinar, para esse mesmo momento, a aceleração da corrente e a reação do extremo da tábua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corrente uniforme de comprimento total e massa que está em uma tábua sem atrito. Uma parte dela está passando por uma abertura na tábua e inicialmente estava fixa, mas depois foi liberada. A corrente começa a se mover por causa da força da gravidade na parte que está pendurada fora da tábua. Nosso objetivo é encontrar:
  1. A velocidade da corrente quando o comprimento da parte pendurada é , onde .
  2. A aceleração da corrente nesse mesmo momento.
  3. A reação no extremo da tábua.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Dinâmica, especificamente as Leis de Newton e princípios de conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a massa da corrente está distribuída. A corrente tem comprimento total e massa total , então a densidade linear de massa (massa por unidade de comprimento) é:
Isso significa que um pedaço de comprimento tem massa .

Passo 3

Quando a corrente está se movendo, uma parte dela está pendurada fora da tábua. A força que faz a corrente se mover é a força gravitacional agindo sobre a parte pendurada. Vamos calcular essa força.
A massa da parte pendurada é , então a força gravitacional é:
onde é a aceleração da gravidade ( ²).

Passo 4

Agora, aplicamos a segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa total multiplicada pela aceleração:
Aqui, a força resultante é a força gravitacional que acabamos de calcular, e a massa que está acelerando é a massa da parte que está se movendo, que é a parte pendurada mais a parte que ainda está sobre a tábua.
A massa total em movimento é:
Então, a equação fica:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a velocidade da corrente no momento em que o comprimento pendurado é . Para isso, podemos usar a conservação da energia ou integrar a aceleração em relação ao tempo. Aqui, vamos usar a energia potencial.
A energia potencial perdida pela parte pendurada que cai é convertida em energia cinética da corrente.
A energia potencial perdida é:
A energia cinética da corrente é:
Igualando as duas:
Cancelando e resolvendo para :
Mas parece que houve um erro na integração. Vamos refazer de forma correta.
Na verdade, a velocidade pode ser encontrada integrando a aceleração em relação ao deslocamento. Sabemos que:
Usando a relação , temos:
Integrando ambos os lados:
Considerando que na posição inicial , a velocidade , então . Assim:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tomando a raiz quadrada:
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, vamos determinar a reação no extremo da tábua. A reação é a força que a tábua exerce para sustentar a parte da corrente que ainda está sobre ela.
A força total sobre a corrente é a soma das forças: a reação e a força gravitacional sobre a parte pendurada. Como a corrente está acelerando, a soma das forças é igual à massa total vezes a aceleração.
Então:
Calculando:
Isso indica que toda a força gravitacional está sendo usada para acelerar a corrente, e não há força residual na tábua.

Resposta

A velocidade da corrente quando o comprimento pendurado é é:
A aceleração da corrente nesse momento é:
E a reação no extremo da tábua é zero.

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