Uma partícula se movimenta numa órbita circular de raio 1 m a velocidade escalar não uniforme. Se a velocidade angular muda com o tempo segundo a equação,
, onde
e
estão em unidades SI, determinar a velocidade e a aceleração da particula para
, em módulo e direção. A aceleração aponta para o centro da circunferência?
Passo 1
Vamos entender o problema: temos uma partícula que se move em uma órbita circular de raio 1 metro. A velocidade angular dela, representada por
, não é constante e varia com o tempo de acordo com a equação
. Nosso objetivo é encontrar a velocidade e a aceleração da partícula no instante
segundos, tanto em módulo quanto em direção. Além disso, queremos saber se a aceleração aponta para o centro da circunferência.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de Cinemática Circular, especificamente as fórmulas para velocidade tangencial (
) e aceleração centrípeta (
). Também precisaremos derivar a velocidade angular para encontrar a aceleração angular (
).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular
no tempo
s usando a equação fornecida:
Substituindo
:
A velocidade angular negativa indica que a partícula está girando no sentido horário.
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade tangencial
. A relação entre a velocidade tangencial e a velocidade angular é dada por:
Onde
. Então:
O valor negativo confirma que a direção do movimento é no sentido horário.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a aceleração centrípeta
, que é responsável por manter a partícula na trajetória circular. A fórmula para
é:
Substituindo
e
:
A aceleração centrípeta sempre aponta para o centro da circunferência.
Passo 5
Além da aceleração centrípeta, como a velocidade angular está mudando com o tempo, temos uma aceleração angular
, que é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:
Derivando
:
Substituindo
:
Passo 6
A aceleração total da partícula é composta pela aceleração centrípeta
e pela aceleração tangencial
, que está relacionada à aceleração angular
pela fórmula:
Substituindo
e
:
Passo 7
Finalmente, para encontrar a aceleração total
, combinamos as componentes centrípeta e tangencial. Como elas são perpendiculares, usamos o teorema de Pitágoras:
A direção da aceleração total pode ser encontrada calculando o ângulo
entre a aceleração centrípeta e a aceleração total:
Isso significa que a aceleração total está inclinada 7.9 graus abaixo da direção centrípeta.
Resposta
No instante
:
- A velocidade da partícula é de
no sentido horário. - A aceleração total é aproximadamente
dirigida 7.9 graus abaixo da direção centrípeta.
Além disso, a aceleração centrípeta aponta para o centro da circunferência.