Uma partícula se movimenta numa órbita circular de raio 1 m a velocidade escalar não uniforme. Se a velocidade angular muda com o tempo segundo a equação, omega=t-t^2, onde omega e t estão em unidades SI, determinar a velocidade e a aceleração da particula para t=3 s, em módulo e direção. A aceleração aponta para o centro da circunferência?

Passo 1

Vamos entender o problema: temos uma partícula que se move em uma órbita circular de raio 1 metro. A velocidade angular dela, representada por , não é constante e varia com o tempo de acordo com a equação . Nosso objetivo é encontrar a velocidade e a aceleração da partícula no instante segundos, tanto em módulo quanto em direção. Além disso, queremos saber se a aceleração aponta para o centro da circunferência.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de Cinemática Circular, especificamente as fórmulas para velocidade tangencial ( ) e aceleração centrípeta ( ). Também precisaremos derivar a velocidade angular para encontrar a aceleração angular ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular omega = t - t^2 no tempo omega = 3 - (3)^2 = 3 - 9 = -6 , rad/s s usando a equação fornecida:
Substituindo :
A velocidade angular negativa indica que a partícula está girando no sentido horário.

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade tangencial v = r cdot omega . A relação entre a velocidade tangencial e a velocidade angular é dada por:
v = 1 cdot (-6) = -6 , m/s
Onde . Então:
O valor negativo confirma que a direção do movimento é no sentido horário.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a aceleração centrípeta ac = omega^2 cdot r , que é responsável por manter a partícula na trajetória circular. A fórmula para ac = (-6)^2 cdot 1 = 36 , m/s^2 é:
Substituindo e :
A aceleração centrípeta sempre aponta para o centro da circunferência.

Passo 5

Além da aceleração centrípeta, como a velocidade angular está mudando com o tempo, temos uma aceleração angular alpha = domegadt , que é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:
alpha = ddt(t - t^2) = 1 - 2t
Derivando alpha = 1 - 2(3) = 1 - 6 = -5 , rad/s^2 :
Substituindo :

Passo 6

A aceleração total da partícula é composta pela aceleração centrípeta at = r cdot alpha e pela aceleração tangencial at = 1 cdot (-5) = -5 , m/s^2 , que está relacionada à aceleração angular pela fórmula:
Substituindo e :

Passo 7

Finalmente, para encontrar a aceleração total a = raizac^2 + at^2 = raiz36^2 + (-5)^2 = raiz1296 + 25 = raiz1321 approx 36.34 , m/s^2 , combinamos as componentes centrípeta e tangencial. Como elas são perpendiculares, usamos o teorema de Pitágoras:
theta = arctan(atac) = arctan(-536) approx -7.9^circ
A direção da aceleração total pode ser encontrada calculando o ângulo entre a aceleração centrípeta e a aceleração total:
Isso significa que a aceleração total está inclinada 7.9 graus abaixo da direção centrípeta.

Resposta

No instante :
  • A velocidade da partícula é de no sentido horário.
  • A aceleração total é aproximadamente dirigida 7.9 graus abaixo da direção centrípeta.
Além disso, a aceleração centrípeta aponta para o centro da circunferência.

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