O vetor de posição de uma partícula vem dado por , onde está em segundos e em metros. Determinar a curva que descreve a trajetória da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem o vetor posição de uma partícula dado por . Nosso objetivo é descobrir qual é a curva que a partícula está seguindo. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades das funções hiperbólicas e manipular as equações para eliminar o tempo , relacionando as coordenadas e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do vetor posição:
Aqui, é o cosseno hiperbólico e é o seno hiperbólico. Essas funções têm umas propriedades legais que vamos usar agora.

Passo 3

Sabemos que as funções hiperbólicas satisfazem a seguinte identidade:
Essa identidade é similar à identidade trigonométrica , mas adaptada para funções hiperbólicas.

Passo 4

Vamos resolver as equações para e em termos de e :
Agora, substituímos esses valores na identidade que mencionamos.

Passo 5

Substituindo na identidade:
Simplificando:
Essa é a equação da trajetória da partícula.

Resposta

A trajetória da partícula é uma hipérbole dada por .

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