O vetor de posição de uma partícula vem dado por
, onde
está em segundos e
em metros. Determinar a curva que descreve a trajetória da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem o vetor posição de uma partícula dado por . Nosso objetivo é descobrir qual é a curva que a partícula está seguindo. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades das funções hiperbólicas e manipular as equações para eliminar o tempo
, relacionando as coordenadas
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do vetor posição:
Aqui,
é o cosseno hiperbólico e é o seno hiperbólico. Essas funções têm umas propriedades legais que vamos usar agora.
Passo 3
Sabemos que as funções hiperbólicas satisfazem a seguinte identidade:
Essa identidade é similar à identidade trigonométrica
, mas adaptada para funções hiperbólicas.
Passo 4
Vamos resolver as equações para
e em termos de
e
:
Agora, substituímos esses valores na identidade que mencionamos.
Passo 5
Substituindo na identidade:
Simplificando:
Essa é a equação da trajetória da partícula.
Resposta
A trajetória da partícula é uma hipérbole dada por
.
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, onde
e
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, tal que a aceleração vem dado por
, onde
e
estão em unidades SI. Se em
os vetores de posição e velocidade são dados por
e
, determinar (a) a equação da trajetoria e (b) a velocidade escalar para
.