O vetor de posição de uma partícula vem dado por r(t)=3 cosh (t) i+2 senh(t) j, onde t está em segundos e r em metros. Determinar a curva que descreve a trajetória da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem o vetor posição de uma partícula dado por . Nosso objetivo é descobrir qual é a curva que a partícula está seguindo. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades das funções hiperbólicas e manipular as equações para eliminar o tempo , relacionando as coordenadas e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do vetor posição:
x = 3 cosh(t)
Aqui, y = 2 senh(t) é o cosseno hiperbólico e é o seno hiperbólico. Essas funções têm umas propriedades legais que vamos usar agora.

Passo 3

Sabemos que as funções hiperbólicas satisfazem a seguinte identidade:
Essa identidade é similar à identidade trigonométrica cosh^2(t) - senh^2(t) = 1 , mas adaptada para funções hiperbólicas.

Passo 4

Vamos resolver as equações para cosh(t) = x3 e em termos de senh(t) = y2 e :
Agora, substituímos esses valores na identidade que mencionamos.

Passo 5

Substituindo na identidade:
(x3)^2 - (y2)^2 = 1
Simplificando:
x^29 - y^24 = 1
Essa é a equação da trajetória da partícula.

Resposta

A trajetória da partícula é uma hipérbole dada por .

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