Um canhão é colocado na origem de um sistema de coordenadas
. Suponha que as coordenadas de um projétil atirado pelo canhão satisfaz as seguintes equações
metros
metros, depois de
segundos do lançamento. Mostre que a trajetória do projétil é uma parábola. A que distância do canhão o projétil vai atingir o chão? Qual a altura máxima que o projétil atingirá após o disparo do canhão?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um canhão na origem de um sistema de coordenadas
e as posições
e
do projétil são dadas por
metros e
metros, onde
é o tempo em segundos após o disparo. Nosso objetivo aqui é:
- Mostrar que a trajetória do projétil é uma parábola.
- Descobrir a distância do canhão onde o projétil atinge o chão.
- Encontrar a altura máxima que o projétil alcança.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a trajetória é uma parábola. Para isso, queremos eliminar o parâmetro
das equações paramétricas
e
.
Sabemos que
, então podemos isolar
:
Agora, substituímos esse valor de
na equação de
:
Simplificando:
Rearranjando os termos:
Essa é a equação de uma parábola, porque a variável
está elevada ao quadrado e o coeficiente de
é negativo, indicando que a parábola abre para baixo.
Passo 3
Agora, vamos descobrir a distância do canhão onde o projétil atinge o chão. Isso acontece quando
.
Usando a equação paramétrica de
:
Podemos fatorar:
Assim, temos duas soluções para
:
Ignorando
(início do disparo), consideramos
segundos.
Agora, substituímos
na equação de
:
Portanto, o projétil atinge o chão a 2500 metros do canhão.
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a altura máxima que o projétil atinge. Isso ocorre no vértice da parábola
.
Para encontrar o vértice, podemos usar a fórmula do tempo no vértice para funções quadráticas. Mas como temos as equações paramétricas, vamos usar a equação de
para encontrar o tempo em que a altura é máxima.
A altura máxima ocorre quando a derivada de
em relação ao tempo
é zero:
Resolvendo para
:
Agora, substituímos
na equação de
:
Então, a altura máxima alcançada pelo projétil é de 625 metros.
Resposta
A trajetória do projétil é uma parábola. O projétil atinge o chão a 2500 metros do canhão e alcança uma altura máxima de 625 metros após o disparo.