Um canhão é colocado na origem de um sistema de coordenadas x O y. Suponha que as coordenadas de um projétil atirado pelo canhão satisfaz as seguintes equações x = 50 t metros e y = 50t - t^2 metros, depois de t segundos do lançamento. Mostre que a trajetória do projétil é uma parábola. A que distância do canhão o projétil vai atingir o chão? Qual a altura máxima que o projétil atingirá após o disparo do canhão?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um canhão na origem de um sistema de coordenadas e as posições e do projétil são dadas por metros e metros, onde é o tempo em segundos após o disparo. Nosso objetivo aqui é:
  1. Mostrar que a trajetória do projétil é uma parábola.
  2. Descobrir a distância do canhão onde o projétil atinge o chão.
  3. Encontrar a altura máxima que o projétil alcança.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a trajetória é uma parábola. Para isso, queremos eliminar o parâmetro das equações paramétricas e .
Sabemos que , então podemos isolar :
Agora, substituímos esse valor de na equação de :
Simplificando:
Rearranjando os termos:
Essa é a equação de uma parábola, porque a variável está elevada ao quadrado e o coeficiente de é negativo, indicando que a parábola abre para baixo.

Passo 3

Agora, vamos descobrir a distância do canhão onde o projétil atinge o chão. Isso acontece quando .
Usando a equação paramétrica de :
Podemos fatorar:
Assim, temos duas soluções para :
Ignorando (início do disparo), consideramos segundos.
Agora, substituímos na equação de :
Portanto, o projétil atinge o chão a 2500 metros do canhão.

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a altura máxima que o projétil atinge. Isso ocorre no vértice da parábola .
Para encontrar o vértice, podemos usar a fórmula do tempo no vértice para funções quadráticas. Mas como temos as equações paramétricas, vamos usar a equação de para encontrar o tempo em que a altura é máxima.
A altura máxima ocorre quando a derivada de em relação ao tempo é zero:
Resolvendo para :
Agora, substituímos na equação de :
Então, a altura máxima alcançada pelo projétil é de 625 metros.

Resposta

A trajetória do projétil é uma parábola. O projétil atinge o chão a 2500 metros do canhão e alcança uma altura máxima de 625 metros após o disparo.

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