Um canhão dispara uma bala com velocidade inicial igual a 500 m / s (em módulo), a 45^circ com a horizontal. Desprezando o atrito e considerando g=10 m / s^2, determine o alcance máximo horizontal e a altura máxima da bala.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de física sobre o movimento de projéteis. Você tem um canhão que dispara uma bala com velocidade inicial de a um ângulo de em relação à horizontal. A gente quer descobrir duas coisas: qual é o alcance máximo horizontal da bala e qual é a altura máxima que ela atinge. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática de projéteis e algumas fórmulas básicas que relacionam velocidade, ângulo e gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bala nas direções horizontal ( v0x = v0 cdot cos(theta) ) e vertical ( v0y = v0 cdot sin(theta) ). Isso nos ajuda a analisar o movimento separadamente em cada direção.
A fórmula para decompor a velocidade é:
Onde:
  • é a velocidade inicial,
  • é o ângulo de lançamento.

Passo 3

Vamos calcular v0x = 500 cdot cos(45^circ) e v0y = 500 cdot sin(45^circ) :
v0x = 500 cdot 0,7071 approx 353,55 , m/s
v0y = 500 cdot 0,7071 approx 353,55 , m/s
Sabendo que :

Passo 4

Agora, vamos calcular o alcance máximo horizontal ( R = v0^2 cdot sin(2theta)g ). A fórmula para o alcance de um projétil sem resistência do ar é:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade,
  • com .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula do alcance:
R = 500^2 cdot 110 = 25000010 = 25000 , m
Então, o alcance máximo é de .

Passo 6

Agora, vamos calcular a altura máxima ( H = v0y^22g ) que a bala atinge. A fórmula para a altura máxima de um projétil é:
Já calculamos .

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula da altura máxima:
H = (353,55)^22 cdot 10 = 124999,820 = 6249,99 , m
Arredondando, a altura máxima é de aproximadamente .

Resposta

O alcance máximo horizontal da bala é de 25.000 metros e a altura máxima que ela atinge �� de 6.250 metros.

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