(Valor 2,0) Durante uma partida de tênis um jogador saca a
com o centro da bola deixando a raquete horizontalmente a
de altura em relação a quadra. A rede está a 12 m de distância e tem uma altura igual a
. (a) A bola passa para o outro lado da quadra? (b) Quando a bola chega a rede, qual a diferença vertical entre o centro da bola e a rede? © Supondo que a bola não sai horizontalmente, mas fazendo um ângulo de
abaixo da horizontal, a bola passa para o outro lado da quadra?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação envolve o movimento da bola de tênis depois que ela é sacada. Vamos usar os conceitos de movimento projetado da física, que ajudam a entender como objetos se movem no ar considerando a velocidade inicial, a direção e a gravidade. Precisamos calcular a trajetória da bola para responder se ela passa para o outro lado da quadra, qual a diferença de altura na rede e o que acontece se a bola for sacada em um ângulo diferente.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os dados que temos:
- Velocidade inicial (
): 23,6 m/s - Altura inicial (
): 2,37 m - Distância até a rede (
): 12 m - Altura da rede (
): 0,90 m - Ângulo abaixo da horizontal para a parte ©: 5°
Vamos considerar que, para a parte (a) e (b), a bola é sacada horizontalmente, ou seja, o ângulo inicial é 0°.
Passo 3
Para analisar o movimento da bola, vamos separar a velocidade inicial em componentes horizontal (
) e vertical (
). Como na parte (a) e (b) a bola é sacada horizontalmente:
A componente vertical inicial é zero porque a bola é sacada horizontalmente.
Passo 4
Vamos calcular o tempo que a bola leva para chegar até a rede usando a componente horizontal:
Passo 5
Agora, vamos calcular a altura da bola quando ela chega à rede. Usamos a equação do movimento vertical:
Onde
(aceleração da gravidade).
Substituindo os valores:
Passo 6
Parte (a): A bola passa para o outro lado da quadra?
Para isso, precisamos saber a altura total que a bola alcança antes de chegar ao final da quadra. Vamos calcular onde a bola aterrissa.
Primeiro, calculamos o tempo total de voo até a bola atingir o solo (
):
Agora, a distância total que a bola percorre horizontalmente:
Como a quadra de tênis tem 12 metros até a rede (e normalmente os lados são mais longos, mas assumindo 12 m como total), a bola percorreu mais que 12 metros, então sim, a bola passa para o outro lado da quadra.
Parte (b): Quando a bola chega à rede, qual a diferença vertical entre o centro da bola e a rede?
Já calculamos que a altura da bola na rede é aproximadamente 1,105 m. A altura da rede é 0,90 m.
Então, a bola está cerca de 20,5 cm acima da rede quando atinge a rede.
Parte ©: Supondo que a bola é sacada com um ângulo de 5° abaixo da horizontal, a bola passa para o outro lado da quadra?
Agora, a velocidade inicial tem uma componente vertical negativa. Vamos recalcular as componentes:
Calculamos o tempo total de voo até a bola atingir o solo:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Considerando apenas o tempo positivo:
Agora, a distância total:
Como a distância até a rede é 12 m, a bola percorreu aproximadamente 12,13 m, o que significa que sim, a bola passa para o outro lado da quadra, mas com uma margem muito pequena.
Resposta
(a) Sim, a bola passa para o outro lado da quadra.
(b) A diferença vertical entre o centro da bola e a rede é de aproximadamente 0,205 metros acima da rede.
© Sim, com um ângulo de 5° abaixo da horizontal, a bola ainda passa para o outro lado da quadra.
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