(Valor 2,0) Durante uma partida de tênis um jogador saca a 23,6 m / s com o centro da bola deixando a raquete horizontalmente a 2,37 m de altura em relação a quadra. A rede está a 12 m de distância e tem uma altura igual a 0,90 m. (a) A bola passa para o outro lado da quadra? (b) Quando a bola chega a rede, qual a diferença vertical entre o centro da bola e a rede? © Supondo que a bola não sai horizontalmente, mas fazendo um ângulo de 5^circ abaixo da horizontal, a bola passa para o outro lado da quadra?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação envolve o movimento da bola de tênis depois que ela é sacada. Vamos usar os conceitos de movimento projetado da física, que ajudam a entender como objetos se movem no ar considerando a velocidade inicial, a direção e a gravidade. Precisamos calcular a trajetória da bola para responder se ela passa para o outro lado da quadra, qual a diferença de altura na rede e o que acontece se a bola for sacada em um ângulo diferente.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
  • Velocidade inicial ( ): 23,6 m/s
  • Altura inicial ( ): 2,37 m
  • Distância até a rede ( ): 12 m
  • Altura da rede ( ): 0,90 m
  • Ângulo abaixo da horizontal para a parte ©: 5°
Vamos considerar que, para a parte (a) e (b), a bola é sacada horizontalmente, ou seja, o ângulo inicial é 0°.

Passo 3

Para analisar o movimento da bola, vamos separar a velocidade inicial em componentes horizontal ( vx = v0 cdot cos(theta) = 23,6 cdot cos(0°) = 23,6 , m/s ) e vertical ( vy = v0 cdot sin(theta) = 23,6 cdot sin(0°) = 0 , m/s ). Como na parte (a) e (b) a bola é sacada horizontalmente:
A componente vertical inicial é zero porque a bola é sacada horizontalmente.

Passo 4

Vamos calcular o tempo que a bola leva para chegar até a rede usando a componente horizontal:
t = dvx = 1223,6 approx 0,508 , s

Passo 5

Agora, vamos calcular a altura da bola quando ela chega à rede. Usamos a equação do movimento vertical:
h(t) = h0 + vy cdot t - 12 g t^2
Onde h(t) = 2,37 + 0 cdot 0,508 - 12 cdot 9,8 cdot (0,508)^2 (aceleração da gravidade).
Substituindo os valores:
h(t) = 2,37 - 12 cdot 9,8 cdot 0,258 approx 2,37 - 1,265 approx 1,105 , m

Passo 6

Parte (a): A bola passa para o outro lado da quadra?
Para isso, precisamos saber a altura total que a bola alcança antes de chegar ao final da quadra. Vamos calcular onde a bola aterrissa.
Primeiro, calculamos o tempo total de voo até a bola atingir o solo ( 0 = 2,37 - 12 cdot 9,8 cdot t^2 ):
12 cdot 9,8 cdot t^2 = 2,37
t^2 = 2,37 cdot 29,8 approx 4,749,8 approx 0,484 , s^2
t approx raiz0,484 approx 0,696 , s
dtotal = vx cdot t approx 23,6 cdot 0,696 approx 16,43 , m
Agora, a distância total que a bola percorre horizontalmente:
Diferença = h(t) - hrede approx 1,105 - 0,90 approx 0,205 , m
Como a quadra de tênis tem 12 metros até a rede (e normalmente os lados são mais longos, mas assumindo 12 m como total), a bola percorreu mais que 12 metros, então sim, a bola passa para o outro lado da quadra.
Parte (b): Quando a bola chega à rede, qual a diferença vertical entre o centro da bola e a rede?
Já calculamos que a altura da bola na rede é aproximadamente 1,105 m. A altura da rede é 0,90 m.
vx = v0 cdot cos(theta) = 23,6 cdot cos(5°) approx 23,6 cdot 0,9962 approx 23,48 , m/s ç
Então, a bola está cerca de 20,5 cm acima da rede quando atinge a rede.
Parte ©: Supondo que a bola é sacada com um ângulo de 5° abaixo da horizontal, a bola passa para o outro lado da quadra?
Agora, a velocidade inicial tem uma componente vertical negativa. Vamos recalcular as componentes:
vy = v0 cdot sin(theta) = 23,6 cdot sin(-5°) approx 23,6 cdot (-0,0872) approx -2,06 , m/s
0 = 2,37 + (-2,06) cdot t - 12 cdot 9,8 cdot t^2
Calculamos o tempo total de voo até a bola atingir o solo:
12 cdot 9,8 cdot t^2 + 2,06 cdot t - 2,37 = 0
t = -2,06 pm raiz(2,06)^2 + 4 cdot 4,9 cdot 2,372 cdot 4,9
Resolvendo essa equação quadrática para t = -2,06 pm raiz4,242 + 46,4289,8 approx -2,06 pm raiz50,679,8 approx -2,06 pm 7,129,8 :
t approx 5,069,8 approx 0,516 , s
dtotal = vx cdot t approx 23,48 cdot 0,516 approx 12,13 , m
Considerando apenas o tempo positivo:
Agora, a distância total:
Como a distância até a rede é 12 m, a bola percorreu aproximadamente 12,13 m, o que significa que sim, a bola passa para o outro lado da quadra, mas com uma margem muito pequena.

Resposta

(a) Sim, a bola passa para o outro lado da quadra.
(b) A diferença vertical entre o centro da bola e a rede é de aproximadamente 0,205 metros acima da rede.
© Sim, com um ângulo de 5° abaixo da horizontal, a bola ainda passa para o outro lado da quadra.

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