Um canhão de massa M=300 kg dispara na horizontal uma bala de massa m=15 kg com uma velocidade de 60 m / s em relação ao chão.
a) Qual a velocidade de recuo do canhão em relação ao chão?
b) Qual a velocidade de recuo do canhão em relação à bala?
c) Qual a variação da energia cinética no disparo?

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o problema está pedindo. Temos um canhão com massa que dispara uma bala de massa com velocidade em relação ao chão. Precisamos descobrir:
a) A velocidade de recuo do canhão em relação ao chão.
b) A velocidade de recuo do canhão em relação à bala.
c) A variação da energia cinética no disparo.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Conservação da Quantidade de Movimento e a Fórmula da Energia Cinética. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a). Quando o canhão dispara a bala, há interação entre eles, mas não há forças externas afetando o sistema (canhão + bala). Segundo a Lei de Conservação da Quantidade de Movimento, a quantidade de movimento total antes do disparo é igual à quantidade de movimento total depois do disparo.
Antes do disparo, ambos estão em repouso, então a quantidade de movimento total é zero.

Passo 3

Depois do disparo:
  • A bala tem quantidade de movimento ptotal antes = ptotal depois .
  • O canhão tem uma quantidade de movimento 0 = pbala + pcanhão ã, onde 0 = m times v + M times V é a velocidade de recuo que queremos encontrar.
Conservando a quantidade de movimento:
ã

Passo 4

Vamos isolar M times V = -m times v :
V = -m times vM
O sinal negativo indica que o recuo é na direção oposta ao disparo da bala.

Passo 5

Substituindo os valores:
V = -15 , kg times 60 , m/s300 , kg = -900300 = -3 , m/s
Então, a velocidade de recuo do canhão em relação ao chão é (ou seja, 3 m/s na direção oposta ao disparo).

Passo 6

Agora, vamos para a parte b): qual a velocidade de recuo do canhão em relação à bala?
Sabemos que:
Vrel = Vcanhão - Vbala ã
Vbala = 60 , m/s (em relação ao chão) çãã
Vcanhão = -3 , m/s (em relação ao chão) ãçãã

Passo 7

Substituindo:
Vrel = (-3) - 60 = -63 , m/s
Isso significa que o canhão se move a 63 m/s na direção oposta à da bala, relativa à bala.

Passo 8

Porém, podemos interpretar o valor absoluto para representar a velocidade de recuo:
|Vrel| = 63 , m/s
Então, a velocidade de recuo do canhão em relação à bala é 63 m/s na direção oposta.

Passo 9

Agora, vamos para a parte c): qual a variação da energia cinética no disparo?
A energia cinética é dada por:
KE = 12 m v^2
Antes do disparo, tanto a bala quanto o canhão estavam em repouso, então a energia cinética total inicial é zero.

Passo 10

Após o disparo:
  • Energia cinética da bala:
  • Energia cinética do canhão: ã
A variação da energia cinética é a soma dessas energias, já que a inicial era zero.

Passo 11

Vamos calcular cada uma:
KEbala = 12 times 15 , kg times (60 , m/s)^2 = 12 times 15 times 3600 = 27000 , J
KEcanhão = 12 times 300 , kg times (3 , m/s)^2 = 12 times 300 times 9 = 1350 , J ã

Passo 12

Somando as energias:
Deã
Então, a variação da energia cinética no disparo é de 28.350 Joules.

Resposta

a) A velocidade de recuo do canhão em relação ao chão é de (3 m/s na direção oposta ao disparo).
b) A velocidade de recuo do canhão em relação à bala é de na direção oposta à da bala.
c) A variação da energia cinética no disparo é de .

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