Considere uma partícula submetida a uma força dada por: e . Determine se esta é uma força conservativa. Calcule o trabalho realizado por esta força, quando a partícula se move ao longo de uma linha reta a partir da origem até o ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma força com componentes , e . Precisamos descobrir se essa força é conservativa e calcular o trabalho realizado por ela quando a partícula se move em uma linha reta da origem até o ponto . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotor (ou rotacional) e o trabalho realizado por uma força.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a força é conservativa. Uma força é conservativa se o seu rotor for igual a zero. O rotor de é dado por:
Vamos calcular cada componente do rotor.

Passo 3

Calculando a primeira componente do rotor:

Passo 4

Calculando a segunda componente do rotor:

Passo 5

Calculando a terceira componente do rotor:

Passo 6

Como todas as componentes do rotor são zero, temos:
Portanto, a força é conservativa.

Passo 7

Agora que sabemos que é conservativa, podemos encontrar a função potencial tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a , em relação a e em relação a , garantindo que todas as integrais sejam consistentes.

Passo 8

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de e , já que a derivada em relação a não captura essas variáveis.

Passo 9

Derivando em relação a e comparando com :
Isso implica que:
Integrando isso em relação a :
Onde é uma função arbitrária de .

Passo 10

Agora, derivando em relação a e comparando com :
Isso implica que:
Podemos considerar a constante como zero, já que só precisamos de uma função potencial arbitrária.

Passo 11

Assim, a função potencial é:

Passo 12

O trabalho realizado pela força ao mover a partícula de até é a diferença de potencial entre esses pontos:
Como , temos:

Resposta

A força é conservativa e o trabalho realizado ao mover a partícula de até é:

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