Considere uma partícula submetida a uma força dada por: Fx=a x^3+b x y^2+c z, Fy=a y^3+b x^2 y e Fz=c x. Determine se esta é uma força conservativa. Calcule o trabalho realizado por esta força, quando a partícula se move ao longo de uma linha reta a partir da origem até o ponto P=(x0, y0, z0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma força com componentes , e . Precisamos descobrir se essa força é conservativa e calcular o trabalho realizado por ela quando a partícula se move em uma linha reta da origem até o ponto . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotor (ou rotacional) e o trabalho realizado por uma força.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a força é conservativa. Uma força é conservativa se o seu rotor for igual a zero. O rotor de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) é dado por:
Vamos calcular cada componente do rotor.

Passo 3

Calculando a primeira componente do rotor:
partial Fzpartial y = partial (c x)partial y = 0
partial Fypartial z = partial (a y^3 + b x^2 y)partial z = 0
Primeira componente = 0 - 0 = 0

Passo 4

Calculando a segunda componente do rotor:
partial Fxpartial z = partial (a x^3 + b x y^2 + c z)partial z = c
partial Fzpartial x = partial (c x)partial x = c
Segunda componente = c - c = 0

Passo 5

Calculando a terceira componente do rotor:
partial Fypartial x = partial (a y^3 + b x^2 y)partial x = 2b x y
partial Fxpartial y = partial (a x^3 + b x y^2 + c z)partial y = 2b x y
Terceira componente = 2b x y - 2b x y = 0

Passo 6

Como todas as componentes do rotor são zero, temos:
nabla times F = (0, 0, 0)
Portanto, a força é conservativa.

Passo 7

Agora que sabemos que F = -nabla U é conservativa, podemos encontrar a função potencial tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a , em relação a e em relação a , garantindo que todas as integrais sejam consistentes.

Passo 8

Integrando U(x, y, z) = -integral (a x^3 + b x y^2 + c z) , dx = -( a4 x^4 + b2 x^2 y^2 + c z x ) + g(y, z) em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de e , já que a derivada em relação a não captura essas variáveis.

Passo 9

Derivando partial Upartial y = -( b x^2 y ) + partial gpartial y = -Fy = -(a y^3 + b x^2 y) em relação a partial gpartial y = -a y^3 e comparando com g(y, z) = -a4 y^4 + h(z) :
Isso implica que:
Integrando isso em relação a :
Onde é uma função arbitrária de .

Passo 10

Agora, derivando partial Upartial z = -c x + dhdz = -Fz = -c x em relação a dhdz = 0 Rightarrow h(z) = constante e comparando com :
Isso implica que:
Podemos considerar a constante como zero, já que só precisamos de uma função potencial arbitrária.

Passo 11

Assim, a função potencial U(x, y, z) = -a4 x^4 - a4 y^4 - b2 x^2 y^2 - c x z é:

Passo 12

O trabalho realizado pela força W = U(P) - U(O) ao mover a partícula de W = U(x0, y0, z0) até é a diferença de potencial entre esses pontos:
Como , temos:

Resposta

A força W = -a4 x0^4 - a4 y0^4 - b2 x0^2 y0^2 - c x0 z0 é conservativa e o trabalho realizado ao mover a partícula de até é:

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