Considere uma partícula submetida a uma força dada por:
e
. Determine se esta é uma força conservativa. Calcule o trabalho realizado por esta força, quando a partícula se move ao longo de uma linha reta a partir da origem até o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma força
com componentes
,
e
. Precisamos descobrir se essa força é conservativa e calcular o trabalho realizado por ela quando a partícula se move em uma linha reta da origem até o ponto
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotor (ou rotacional) e o trabalho realizado por uma força.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a força é conservativa. Uma força é conservativa se o seu rotor for igual a zero. O rotor de
é dado por:
Vamos calcular cada componente do rotor.
Passo 3
Calculando a primeira componente do rotor:
Passo 4
Calculando a segunda componente do rotor:
Passo 5
Calculando a terceira componente do rotor:
Passo 6
Como todas as componentes do rotor são zero, temos:
Portanto, a força
é conservativa.
Passo 7
Agora que sabemos que
é conservativa, podemos encontrar a função potencial
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
,
em relação a
e
em relação a
, garantindo que todas as integrais sejam consistentes.
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
e
, já que a derivada em relação a
não captura essas variáveis.
Passo 9
Derivando
em relação a
e comparando com
:
Isso implica que:
Integrando isso em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 10
Agora, derivando
em relação a
e comparando com
:
Isso implica que:
Podemos considerar a constante como zero, já que só precisamos de uma função potencial arbitrária.
Passo 11
Assim, a função potencial
é:
Passo 12
O trabalho realizado pela força
ao mover a partícula de
até
é a diferença de potencial entre esses pontos:
Como
, temos:
Resposta
A força
é conservativa e o trabalho realizado ao mover a partícula de
até
é:
Exercícios relacionados
Uma dada massa
em repouso é submetida a uma força
. Determine
e
.
Uma partícula de massa
se move conforme as equações:
. Determine o momento angular
em qualquer instante
, a força
e o torque
sobre a partícula.
D3. Uma bola B é liberada do repouso do
; ( )
Nenhuma das alternativas.
f 1.0 03. Uma bola B é liberada do repouso do topo de um prédio no mesmo instante em que uma bola A é lançada velocidade de B é duas vezes maior que a velocidade de A. E
f 1.0 03. Uma bola B é liberada do repouso do topo de um prédio no mesmo instante em que uma bola A é lançada velocidade de B é duas vezes maior que a velocidade de A. E
Um canhão de massa
dispara na horizontal uma bala de massa
com uma velocidade de
em relação ao chão.
a) Qual a velocidade de recuo do canhão em relação ao chão?
b) Qual a velocidade de recuo do canhão em relação à bala?
c) Qual a variação da energia cinética no disparo?
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