Um canhão de um navio dispara projéteis com velocidade de 343 m / s (que é a velocidade do som no ar à temperatura de 20^circ C ). Determinar o ângulo de lançamento para atingir outro navio localizado a uma distância de 9,00 km. Considere desprezível a resistência do ar e que a aceleração da gravidade tem módulo de 9,80 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um canhão que dispara projéteis a uma velocidade de . Nosso objetivo é descobrir em que ângulo o canhão deve ser ajustado para que o projétil alcance outro navio que está a de distância. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetado na física, que envolve decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Precisamos das fórmulas de alcance máximo e trigonometria básica para achar o ângulo certo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a distância de 9,00 , km = 9000 , m para metros, já que a velocidade está em metros por segundo. Sabemos que , então:

Passo 3

A fórmula do alcance R = v^2 sin(2theta)g de um projétil, sem resistência do ar, é dada por:
Aqui:
  • é o alcance (9000 m),
  • é a velocidade inicial (343 m/s),
  • é a aceleração da gravidade (9,80 m/s²),
  • é o ângulo de lançamento que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos isolar sin(2theta) = Rgv^2 na fórmula:
sin(2theta) = 9000 times 9,80343^2
Substituindo os valores:

Passo 5

Calculando o denominador e o numerador:
343^2 = 117649 , m^2/s^2
9000 times 9,80 = 88200 , m^2/s^2
Então,
sin(2theta) = 88200117649 approx 0,750

Passo 6

Agora, para encontrar 2theta = arcsin(0,750) , usamos a função arco seno:
2theta approx 48,59^circ
Calculando isso:

Passo 7

Finalmente, dividimos por 2 para achar theta = 48,59^circ2 approx 24,30^circ :

Resposta

O ângulo de lançamento necessário para atingir o outro navio é aproximadamente .

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