Uma moto e seu piloto atingem uma velocidade de 90,0 km / h ao final de uma rampa, inclinada em 300 em relação à horizontal e uma altura de 10,00 m em relação ao solo. Considere desprezível a resistência do ar e que a aceleração da gravidade tem módulo de 9,80 m / s^2. Determinar: F) A equação da trajetória, ou seja, da altura em função da coordenada horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve cinemática de projéteis, que é parte da física que estuda o movimento de objetos lançados no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical, e então usar as equações do movimento para encontrar a trajetória da moto em função da posição horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade da moto de quilômetros por hora (km/h) para metros por segundo (m/s), porque as unidades do Sistema Internacional são mais práticas para cálculos físicos.
A velocidade dada é de 90,0 km/h. Sabemos que:
1 , km/h = 1000 , m3600 , s approx 0,27778 , m/s
Então,
90,0 , km/h times 0,27778 , m/skm/h approx 25,0 , m/s

Passo 3

Agora, vamos decompor essa velocidade inicial em suas componentes horizontal ( Vx = V cdot cos(theta) ) e vertical ( Vy = V cdot sin(theta) ). A rampa está inclinada em 30 graus em relação à horizontal, então usamos funções trigonométricas para isso.
As fórmulas são:
Vx = 25,0 , m/s times cos(30^circ) = 25,0 times 0,8660 approx 21,65 , m/s
Vy = 25,0 , m/s times sin(30^circ) = 25,0 times 0,5 = 12,5 , m/s
Onde:
  • (velocidade inicial)
  • (ângulo da rampa)
Calculando:

Passo 4

A moto e o piloto vão se mover como um projétil após deixarem a rampa. A trajetória de um projétil é descrita pela equação que relaciona a altura y = y0 + Vy cdot t - 12 g t^2 em função da posição horizontal x = Vx cdot t .
A equação geral da trajetória é:
t = xVx
Onde:
  • y = y0 + Vy cdot ( xVx ) - 12 g ( xVx )^2 (altura inicial)
  • (aceleração da gravidade)
Mas queremos em função de . Sabemos que:
Substituindo na equação da trajetória:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que encontramos:
y = 10,00 , m + 12,5 , m/s cdot ( x21,65 , m/s ) - 12 times 9,80 , m/s^2 times ( x21,65 , m/s )^2
Simplificando as frações:
y = 10,00 + ( 12,521,65 ) x - ( 9,802 times (21,65)^2 ) x^2
Calculando os coeficientes:
12,521,65 approx 0,577
9,802 times 468,22 approx 0,0105
Então, a equação da trajetória fica:
y = 10,00 + 0,577 , x - 0,0105 , x^2

Resposta

A equação da trajetória é:
y = 10,00 + 0,577 , x - 0,0105 , x^2

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