Uma partícula em movimento em trajetória retilínea tem a função horária do movimento dada por:
x(t)=50,0+2,00 t+3,00 t^2+0,200 t^3
onde t é o tempo e x é a coordenada espacial, em unidades do Sistema Internacional. Determinar: A) A função horária da velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento retilíneo! A gente tem a função que mostra onde a partícula está em qualquer tempo t, que é x(t) = 50,0 + 2,00t + 3,00t² + 0,200t³. Nosso objetivo aqui é encontrar a função da velocidade, ou seja, como a velocidade da partícula muda com o tempo. Para isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a taxa de variação da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que, se temos x(t), a função da velocidade v(t) será a derivada de x(t) em relação a t. Matemáticamente, isso é representado por:
v(t) = dx(t)dt

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de cada termo da função x(t):
  1. Derivada de 50,0: Como é uma constante, a derivada é 0.
  2. Derivada de 2,00t: A derivada de kt (onde k é uma constante) é simplesmente k. Então, a derivada é 2,00.
  3. Derivada de 3,00t²: Usamos a regra da potência, que diz que a derivada de ktⁿ é k*n*t^(n-1). Aqui, n=2, então a derivada é 3,00 * 2 * t = 6,00t.
  4. Derivada de 0,200t³: Novamente, aplicamos a regra da potência. Com n=3, a derivada fica 0,200 * 3 * t² = 0,600t².

Passo 4

Vamos agora somar todas essas derivadas para obter a função da velocidade:
v(t) = 0 + 2,00 + 6,00t + 0,600t² ²
Simplificando:
v(t) = 2,00 + 6,00t + 0,600t² ²

Resposta

A função horária da velocidade é:
v(t) = 2,00 + 6,00,t + 0,600,t^2

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