Uma moto e seu piloto atingem uma velocidade de 90,0 km / h ao final de uma rampa, inclinada em 300 em relação à horizontal e uma altura de 10,00 m em relação ao solo. Considere desprezível a resistência do ar e que a aceleração da gravidade tem módulo de 9,80 m / s^2. Determinar: D) Para o instante de retorno ao nível de lançamento: as componentes horizontal e vertical da velocidade, o módulo da velocidade resultante e a sua direção.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma moto com o piloto que alcança uma velocidade de ao final de uma rampa inclinada a em relação à horizontal, com uma altura de em relação ao solo. Precisamos determinar, no instante em que a moto retorna ao nível de lançamento:
  • As componentes horizontal e vertical da velocidade.
  • O módulo da velocidade resultante.
  • A direção dessa velocidade.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e vetores de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade da moto de quilômetros por hora para metros por segundo, pois as demais unidades estão no sistema internacional.
A fórmula para converter km/h para m/s é:
Velocidade (m/s) = Velocidade (km/h) times 10003600
Aplicando:
90,0 , km/h times 10003600 = 25,0 , m/s
Então, a velocidade da moto é .

Passo 3

Agora, vamos decompor essa velocidade inicial nas suas componentes horizontal ( Vx = V cdot cos(theta) ) e vertical ( Vy = V cdot sin(theta) ) usando o ângulo de inclinação da rampa ( Vx = 25,0 , m/s times cos(30^circ) approx 25,0 times 0,8660 = 21,65 , m/s ).
As fórmulas para as componentes são:
Vy = 25,0 , m/s times sin(30^circ) = 25,0 times 0,5 = 12,5 , m/s
Onde:
Calculando:

Passo 4

No instante de retorno ao nível de lançamento, a componente horizontal da velocidade ( Vy,retorno = -12,5 , m/s ) permanece a mesma, já que não há resistência do ar.
A componente vertical da velocidade ( ) muda de direção, mas mantém o mesmo módulo devido à simetria do movimento de projétil. Portanto, no retorno:

Passo 5

Agora, vamos determinar o módulo da velocidade resultante nesse instante. Para isso, usamos o teorema de Pitágoras para vetores:
Vresu
Substituindo os valores:
Vresu
Arredondando, .

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a direção da velocidade resultante em relação à horizontal. Usamos a função tangente inversa:
theta = tan^-1(VyVx)
Substituindo:
theta = tan^-1(-12,521,65) approx tan^-1(-0,577) approx -30^circ
O ângulo negativo indica que a direção está abaixo da horizontal.

Resposta

As componentes da velocidade no instante de retorno são:
Vx = 21,65 , m/s
Vy = -12,5 , m/s
O módulo da velocidade resultante é aproximadamente e sua direção está abaixo da horizontal.

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