Um canhâo, situado no solo, é posto sob um ângulo de inclinação
. Seja
o alcance do canhão, dado por
, onde
e
são constantes. Para que ângulo o alcance é máximo?
Considerar
uma constante positiva.
Considerar
Passo 1
Vamos resumir o exercício. Temos um canhão que dispara um projétil e queremos descobrir em qual ângulo
o alcance do projétil é máximo. A fórmula que vamos usar para calcular o alcance é
, onde
é a velocidade do projétil e
é a aceleração da gravidade, que consideramos uma constante positiva. O conteúdo da matéria aqui envolve trigonometria e o conceito de otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a nossa fórmula do alcance. Sabemos que
pode ser reescrito usando uma identidade trigonométrica. A identidade que vamos usar é:
Assim, podemos substituir na fórmula do alcance
:
Passo 3
Agora precisamos maximizar a função
. Para isso, vamos derivar a função em relação a
e igualar a zero para encontrar o ângulo que maximiza o alcance.
A derivada de
em relação a
é
. Então, derivando nosso alcance, temos:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Aqui, já sabemos que
e
são constantes e positivas, então podemos simplificar para:
A solução para isso ocorre quando
, onde
é um número inteiro. Assim, dividindo tudo por 2, obtemos:
Passo 4
Considerando que o ângulo
deve estar entre
e
(pois estamos falando de um canhão), a única solução válida para maximizar o alcance é quando
. Então:
Resposta
Portanto, o ângulo para que o alcance do canhão seja máximo é
, ou 45 graus.
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