Um canhâo, situado no solo, é posto sob um ângulo de inclinação alpha. Seja l o alcance do canhão, dado por l=2 v^2g sen alpha cos alpha, onde v e g são constantes. Para que ângulo o alcance é máximo?
Considerar g uma constante positiva.

Passo 1

Vamos resumir o exercício. Temos um canhão que dispara um projétil e queremos descobrir em qual ângulo alpha o alcance do projétil é máximo. A fórmula que vamos usar para calcular o alcance é l = 2 v^2g sen alpha cos alpha, onde v é a velocidade do projétil e g é a aceleração da gravidade, que consideramos uma constante positiva. O conteúdo da matéria aqui envolve trigonometria e o conceito de otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a nossa fórmula do alcance. Sabemos que sen alpha cos alpha pode ser reescrito usando uma identidade trigonométrica. A identidade que vamos usar é:
sen alpha cos alpha = 12 sen(2alpha)
Assim, podemos substituir na fórmula do alcance l:
l = 2 v^2g cdot 12 sen(2alpha) = v^2g sen(2alpha)

Passo 3

Agora precisamos maximizar a função l = v^2g sen(2alpha). Para isso, vamos derivar a função em relação a alpha e igualar a zero para encontrar o ângulo que maximiza o alcance.
A derivada de sen(2alpha) em relação a alpha é 2 cos(2alpha). Então, derivando nosso alcance, temos:
dldalpha = v^2g cdot 2 cos(2alpha)
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
v^2g cdot 2 cos(2alpha) = 0
Aqui, já sabemos que v e g são constantes e positivas, então podemos simplificar para:
cos(2alpha) = 0
A solução para isso ocorre quando 2alpha = pi2 + kpi, onde k é um número inteiro. Assim, dividindo tudo por 2, obtemos:
alpha = pi4 + kpi2

Passo 4

Considerando que o ângulo alpha deve estar entre 0 e pi2 (pois estamos falando de um canhão), a única solução válida para maximizar o alcance é quando k=0. Então:
alpha = pi4

Resposta

Portanto, o ângulo para que o alcance do canhão seja máximo é alpha = pi4, ou 45 graus.

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