Um canhâo, situado no solo, é posto sob um ângulo de inclinação . Seja o alcance do canhão, dado por , onde e são constantes. Para que ângulo o alcance é máximo?
Considerar uma constante positiva.

Passo 1

Vamos resumir o exercício. Temos um canhão que dispara um projétil e queremos descobrir em qual ângulo o alcance do projétil é máximo. A fórmula que vamos usar para calcular o alcance é , onde é a velocidade do projétil e é a aceleração da gravidade, que consideramos uma constante positiva. O conteúdo da matéria aqui envolve trigonometria e o conceito de otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a nossa fórmula do alcance. Sabemos que pode ser reescrito usando uma identidade trigonométrica. A identidade que vamos usar é:
Assim, podemos substituir na fórmula do alcance :

Passo 3

Agora precisamos maximizar a função . Para isso, vamos derivar a função em relação a e igualar a zero para encontrar o ângulo que maximiza o alcance.
A derivada de em relação a é . Então, derivando nosso alcance, temos:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Aqui, já sabemos que e são constantes e positivas, então podemos simplificar para:
A solução para isso ocorre quando , onde é um número inteiro. Assim, dividindo tudo por 2, obtemos:

Passo 4

Considerando que o ângulo deve estar entre e (pois estamos falando de um canhão), a única solução válida para maximizar o alcance é quando . Então:

Resposta

Portanto, o ângulo para que o alcance do canhão seja máximo é , ou 45 graus.

Exercícios relacionados

Um disco circular de plástico de raio tem um carga uniformemente distribuída e na superficie. Qual é a carga, em Coulombs, de um anel circular de de largura e raio médio extraido do disco? Lembre que o módulo da carga do elétron é .
Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado 42 cm , deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível.
Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões e , com um lado comum . Se cada pasto deve medir de área, determinar as dimensões e , de forma que o comprimento da cerca seja mínimo.
Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens retangulares exige que o comprimento de cada caixa seja 2 m e o volume . Para gastar a menor quantidade de material possível na fabricação de caixas, quais devem ser suas dimensōes.