Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b, com um lado comum a. Se cada pasto deve medir 400 m^2 de área, determinar as dimensões a e b, de forma que o comprimento da cerca seja mínimo.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre um fazendeiro que precisa cercar dois pastos retangulares. Cada pasto tem que ter uma área de 400 m^2. O lado comum dos pastos é o lado que mede a. Precisamos descobrir quais devem ser as dimensões a e b para que o comprimento total da cerca seja o menor possível. O conteúdo que estamos usando aqui é otimização em geometria, e vamos precisar de algumas fórmulas para determinar a área e o perímetro.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a área de cada pasto (que é retangular) é dada pela fórmula A = a times b. Com essa informação, já sabemos que cada pasto deve ter uma área de 400 m^2. Então, temos:
a times b = 400
Isso significa que podemos expressar b em termos de a:
b = 400a

Passo 3

Agora, vamos calcular o comprimento da cerca. O comprimento total de cerca (perímetro) que precisamos construir é a soma dos lados de ambos os pastos. Para o primeiro pasto, que possui os lados a e b, e para o segundo, que também tem um lado a e o mesmo lado b, precisamos considerar todos os lados, mas o lado comum a entre os pastos só deve ser contado uma vez. Assim, o comprimento total da cerca C é:
C = 2a + 2b - a = a + 2b
Substituindo b pela expressão que encontramos antes:
C = a + 2(400a) = a + 800a

Passo 4

Agora, para minimizar o comprimento da cerca C, precisamos derivar essa função em relação a a. A derivada de C em relação a a é:
dCda = 1 - 800a^2
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
1 - 800a^2 = 0
Resolvendo isso, temos:
800a^2 = 1 implies a^2 = 800 implies a = raiz800 implies a = 20raiz2 approx 28.28 , m

Passo 5

Agora que temos o valor de a, precisamos encontrar o valor de b usando a fórmula que derivamos anteriormente:
b = 400a = 40020raiz2 = 20raiz21 approx 14.14 , m

Resposta

Então, as dimensões para os pastos que minimizam o comprimento da cerca são aproximadamente a approx 28.28 , m e b approx 14.14 , m.

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