Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões
e
, com um lado comum
. Se cada pasto deve medir
de área, determinar as dimensões
e
, de forma que o comprimento da cerca seja mínimo.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre um fazendeiro que precisa cercar dois pastos retangulares. Cada pasto tem que ter uma área de
. O lado comum dos pastos é o lado que mede
. Precisamos descobrir quais devem ser as dimensões
e
para que o comprimento total da cerca seja o menor possível. O conteúdo que estamos usando aqui é otimização em geometria, e vamos precisar de algumas fórmulas para determinar a área e o perímetro.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a área de cada pasto (que é retangular) é dada pela fórmula
. Com essa informação, já sabemos que cada pasto deve ter uma área de
. Então, temos:
Isso significa que podemos expressar
em termos de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o comprimento da cerca. O comprimento total de cerca (perímetro) que precisamos construir é a soma dos lados de ambos os pastos. Para o primeiro pasto, que possui os lados
e
, e para o segundo, que também tem um lado
e o mesmo lado
, precisamos considerar todos os lados, mas o lado comum
entre os pastos só deve ser contado uma vez. Assim, o comprimento total da cerca
é:
Substituindo
pela expressão que encontramos antes:
Passo 4
Agora, para minimizar o comprimento da cerca
, precisamos derivar essa função em relação a
. A derivada de
em relação a
é:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo isso, temos:
Passo 5
Agora que temos o valor de
, precisamos encontrar o valor de
usando a fórmula que derivamos anteriormente:
Resposta
Então, as dimensões para os pastos que minimizam o comprimento da cerca são aproximadamente
e
.
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, onde
e
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