Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões e , com um lado comum . Se cada pasto deve medir de área, determinar as dimensões e , de forma que o comprimento da cerca seja mínimo.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre um fazendeiro que precisa cercar dois pastos retangulares. Cada pasto tem que ter uma área de . O lado comum dos pastos é o lado que mede . Precisamos descobrir quais devem ser as dimensões e para que o comprimento total da cerca seja o menor possível. O conteúdo que estamos usando aqui é otimização em geometria, e vamos precisar de algumas fórmulas para determinar a área e o perímetro.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a área de cada pasto (que é retangular) é dada pela fórmula . Com essa informação, já sabemos que cada pasto deve ter uma área de . Então, temos:
Isso significa que podemos expressar em termos de :

Passo 3

Agora, vamos calcular o comprimento da cerca. O comprimento total de cerca (perímetro) que precisamos construir é a soma dos lados de ambos os pastos. Para o primeiro pasto, que possui os lados e , e para o segundo, que também tem um lado e o mesmo lado , precisamos considerar todos os lados, mas o lado comum entre os pastos só deve ser contado uma vez. Assim, o comprimento total da cerca é:
Substituindo pela expressão que encontramos antes:

Passo 4

Agora, para minimizar o comprimento da cerca , precisamos derivar essa função em relação a . A derivada de em relação a é:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo isso, temos:

Passo 5

Agora que temos o valor de , precisamos encontrar o valor de usando a fórmula que derivamos anteriormente:

Resposta

Então, as dimensões para os pastos que minimizam o comprimento da cerca são aproximadamente e .

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