Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado 42 cm , deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma folha quadrada de cartolina com lado de 42 cm e queremos fazer uma caixa sem tampa cortando quadrados iguais em cada canto. O objetivo é encontrar o tamanho dos lados desses quadrados que maximizam o volume da caixa. Aqui, vamos usar conceitos de geometria e cálculo pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a caixa será montada. Ao cortar um quadrado de lado
em cada canto da folha quadrada, a altura da caixa quando dobrarmos as laterais será
. Assim, as medidas da base da caixa, após os cortes, serão:
- Largura:
(porque cortamos de cada lado) - Comprimento:
(mesma lógica)
Portanto, podemos expressar o volume
da caixa como:
Simplificando isso, ficamos com:
Passo 3
Agora que temos a expressão do volume, precisamos encontrar o valor de
que maximiza esse volume. Para isso, vamos calcular a derivada da função volume
em relação a
e igualá-la a zero. Essa derivada nos ajuda a encontrar os pontos onde o volume é máximo.
A derivada
é:
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Dividimos toda a equação por 12 para facilitar:
Agora, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
Substituindo
,
e
:
Agora, calculamos os dois valores:
Passo 4
Agora, precisamos determinar qual desses valores realmente maximiza o volume. Como estamos cortando quadrados,
deve ser menor que 21 cm porque precisa sobrar material para a base da caixa.
Vamos verificar os valores:
- Se
, a base da caixa se torna zero, o que não dá caixa. - Se
, encontramos um valor que pode ser utilizado.
Resposta
Portanto, o lado dos quadrados que devem ser cortados para maximizar o volume da caixa é
cm.
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