Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado 42 cm , deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma folha quadrada de cartolina com lado de 42 cm e queremos fazer uma caixa sem tampa cortando quadrados iguais em cada canto. O objetivo é encontrar o tamanho dos lados desses quadrados que maximizam o volume da caixa. Aqui, vamos usar conceitos de geometria e cálculo pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a caixa será montada. Ao cortar um quadrado de lado em cada canto da folha quadrada, a altura da caixa quando dobrarmos as laterais será . Assim, as medidas da base da caixa, após os cortes, serão:
  • Largura: (porque cortamos de cada lado)
  • Comprimento: (mesma lógica)
Portanto, podemos expressar o volume da caixa como:
Simplificando isso, ficamos com:

Passo 3

Agora que temos a expressão do volume, precisamos encontrar o valor de que maximiza esse volume. Para isso, vamos calcular a derivada da função volume em relação a e igualá-la a zero. Essa derivada nos ajuda a encontrar os pontos onde o volume é máximo.
A derivada é:
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Dividimos toda a equação por 12 para facilitar:
Agora, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
Substituindo , e :
Agora, calculamos os dois valores:

Passo 4

Agora, precisamos determinar qual desses valores realmente maximiza o volume. Como estamos cortando quadrados, deve ser menor que 21 cm porque precisa sobrar material para a base da caixa.
Vamos verificar os valores:
  • Se , a base da caixa se torna zero, o que não dá caixa.
  • Se , encontramos um valor que pode ser utilizado.

Resposta

Portanto, o lado dos quadrados que devem ser cortados para maximizar o volume da caixa é cm.

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