Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado 42 cm , deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma folha quadrada de cartolina com lado de 42 cm e queremos fazer uma caixa sem tampa cortando quadrados iguais em cada canto. O objetivo é encontrar o tamanho dos lados desses quadrados que maximizam o volume da caixa. Aqui, vamos usar conceitos de geometria e cálculo pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a caixa será montada. Ao cortar um quadrado de lado x em cada canto da folha quadrada, a altura da caixa quando dobrarmos as laterais será x. Assim, as medidas da base da caixa, após os cortes, serão:
  • Largura: 42 - 2x (porque cortamos x de cada lado)
  • Comprimento: 42 - 2x (mesma lógica)
Portanto, podemos expressar o volume V da caixa como:
V = comprimento times largura times a
V = (42 - 2x)(42 - 2x)x
Simplificando isso, ficamos com:
V = x(42 - 2x)(42 - 2x)
V = x(42^2 - 2 cdot 42 cdot 2x + 4x^2)
V = x(1764 - 168x + 4x^2)
V = 4x^3 - 168x^2 + 1764x

Passo 3

Agora que temos a expressão do volume, precisamos encontrar o valor de x que maximiza esse volume. Para isso, vamos calcular a derivada da função volume V em relação a x e igualá-la a zero. Essa derivada nos ajuda a encontrar os pontos onde o volume é máximo.
A derivada V' é:
V' = 12x^2 - 336x + 1764
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
12x^2 - 336x + 1764 = 0
Dividimos toda a equação por 12 para facilitar:
x^2 - 28x + 147 = 0
Agora, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo a = 1, b = -28 e c = 147:
x = 28 pm raiz(-28)^2 - 4 cdot 1 cdot 1472 cdot 1
x = 28 pm raiz784 - 5882
x = 28 pm raiz1962
x = 28 pm 142
Agora, calculamos os dois valores:
  1. x = 422 = 21
  2. x = 142 = 7

Passo 4

Agora, precisamos determinar qual desses valores realmente maximiza o volume. Como estamos cortando quadrados, x deve ser menor que 21 cm porque precisa sobrar material para a base da caixa.
Vamos verificar os valores:
  • Se x = 21, a base da caixa se torna zero, o que não dá caixa.
  • Se x = 7, encontramos um valor que pode ser utilizado.

Resposta

Portanto, o lado dos quadrados que devem ser cortados para maximizar o volume da caixa é 7 cm.

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