Trechos do oleoduto que atravessa o Alasca encontram -se acima do solo e são sustentados por suportes verticais de aço ( k=15 W / mK ) que possuem 1 m e área de seção transversal que possuem comprimento de 1m e área de seção transversal de 0,005 m 2. Em condições normais de operação, sabe-se que a variação da temperatura ao longo do comprimento do suporte é governada por uma expressão com a forma:
T=100-150 x+15 x^2
Na qual T e x possuem unidades de ^circ C e metros, respectivamente. Variações de temperatura na seção transversal do suporte são pequenas. Determine a temperatura e a taxa de condução de calor na junção suporte -oleoduto ( x=0 ) e na interface suporte - solo ( x=1 m ). Explique as diferenças entre as taxas de transferência de calor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um trecho de oleoduto no Alasca sustentado por suportes de aço. A temperatura ao longo do suporte varia segundo a equação , onde está em graus Celsius e em metros. A gente precisa encontrar a temperatura e a taxa de condução de calor nos pontos de junção entre o suporte e o oleoduto ( ) e entre o suporte e o solo ( m). Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a temperatura nos dois pontos mencionados substituindo os valores de T(0) = 100 - 150(0) + 15(0)^2 = 100,^circC na equação dada.
Para T(1) = 100 - 150(1) + 15(1)^2 = 100 - 150 + 15 = -35,^circC :
Para :
Então, a temperatura no ponto de junção suporte-oleoduto é de e no ponto suporte-solo é de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa de condução de calor nesses pontos. A taxa de condução de calor q = -k dTdx pode ser encontrada usando a lei de Fourier na forma unidimensional:
dTdx = ddx(100 - 150x + 15x^2) = -150 + 30x
onde:
  • é a condutividade térmica do material ( ),
  • é o gradiente de temperatura.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função :

Passo 4

Agora, vamos calcular dTdx|x=0 = -150 + 30(0) = -150,^circC/m nos pontos dTdx|x=1 = -150 + 30(1) = -120,^circC/m e :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, aplicamos a lei de Fourier para encontrar q(0) = -15 times (-150) = 2250,W/m^2 :
Para q(1) = -15 times (-120) = 1800,W/m^2 :
Para :

Resposta

A temperatura na junção suporte-oleoduto ( ) é e a taxa de condução de calor é . Na interface suporte-solo ( m), a temperatura é e a taxa de condução de calor é . A diferença nas taxas de transferência de calor ocorre porque o gradiente de temperatura é mais acentuado no ponto , resultando em uma maior taxa de condução de calor naquele local.

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