Trechos do oleoduto que atravessa o Alasca encontram -se acima do solo e são sustentados por suportes verticais de aço ( ) que possuem 1 m e área de seção transversal que possuem comprimento de 1m e área de seção transversal de . Em condições normais de operação, sabe-se que a variação da temperatura ao longo do comprimento do suporte é governada por uma expressão com a forma:
Na qual T e x possuem unidades de e metros, respectivamente. Variações de temperatura na seção transversal do suporte são pequenas. Determine a temperatura e a taxa de condução de calor na junção suporte -oleoduto ( ) e na interface suporte - solo ( ). Explique as diferenças entre as taxas de transferência de calor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um trecho de oleoduto no Alasca sustentado por suportes de aço. A temperatura ao longo do suporte varia segundo a equação , onde está em graus Celsius e em metros. A gente precisa encontrar a temperatura e a taxa de condução de calor nos pontos de junção entre o suporte e o oleoduto () e entre o suporte e o solo ( m). Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a temperatura nos dois pontos mencionados substituindo os valores de na equação dada.
Para :
Para :
Então, a temperatura no ponto de junção suporte-oleoduto é de e no ponto suporte-solo é de .
Passo 3
Agora, vamos calcular a taxa de condução de calor nesses pontos. A taxa de condução de calor pode ser encontrada usando a lei de Fourier na forma unidimensional:
onde:
é a condutividade térmica do material (),
é o gradiente de temperatura.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função :
Passo 4
Agora, vamos calcular nos pontos e :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, aplicamos a lei de Fourier para encontrar :
Para :
Para :
Resposta
A temperatura na junção suporte-oleoduto () é e a taxa de condução de calor é . Na interface suporte-solo ( m), a temperatura é e a taxa de condução de calor é . A diferença nas taxas de transferência de calor ocorre porque o gradiente de temperatura é mais acentuado no ponto , resultando em uma maior taxa de condução de calor naquele local.