Um cano de diâmetro interno de
transporta água para o subsolo de uma casa a uma velocidade de
e a uma pressão de 170 kPa . Se o cano se estreita para
e sobe para o segundo piso
acima do ponto de entrada, quais são (a) a velocidade e (b) a pressão da água no segundo piso?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de mecânica dos fluidos que envolve dois conceitos principais: a equação da continuidade e a equação de Bernoulli. Vamos precisar dessas ferramentas para descobrir a velocidade e a pressão da água no segundo piso. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos tratar da parte (a) do exercício, que pede para descobrir a velocidade da água no segundo piso. Para isso, vamos usar a equação da continuidade, que basicamente diz que a quantidade de água que entra em um ponto do cano tem que igualar a quantidade que sai, considerando as diferentes áreas dos dois pontos.
A equação da continuidade é:
Onde:
-
e são as áreas das seções do cano nos pontos 1 e 2. -
e são as velocidades da água nos pontos 1 e 2.
Mas para aplicar essa equação, precisamos calcular as áreas dos dois canos.
Passo 3
Vamos calcular as áreas das seções do cano. A área de um círculo é dada por:
Onde
é o diâmetro.
Para o cano 1 (diâmetro de 2,5 cm):
Para o cano 2 (diâmetro de 1,2 cm):
Passo 4
Agora que temos as áreas, vamos aplicar a equação da continuidade para encontrar
:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b), que pede para encontrar a pressão da água no segundo piso. Aqui, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura em dois pontos diferentes de um fluido em movimento.
A equação de Bernoulli é:
Onde:
-
é a pressão, -
é a densidade da água (aprox. ), -
é a velocidade, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura.
Vamos considerar que o ponto 1 está no subsolo (
) e o ponto 2 está no segundo piso (
).
Passo 6
Vamos reorganizar a equação de Bernoulli para resolver
:
Como
, simplificamos para:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 7
Vamos calcular cada termo:
-
:
-
:
-
:
Passo 8
Agora, substituímos esses valores na equação de
:
Calculando passo a passo:
Convertendo para kPa:
Resposta
(a) A velocidade da água no segundo piso é aproximadamente
.
(b) A pressão da água no segundo piso é aproximadamente
.