Um cano de diâmetro interno de 2,5 cm transporta água para o subsolo de uma casa a uma velocidade de 0,90 m / s e a uma pressão de 170 kPa . Se o cano se estreita para 1,2 cm e sobe para o segundo piso 7,6 m acima do ponto de entrada, quais são (a) a velocidade e (b) a pressão da água no segundo piso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de mecânica dos fluidos que envolve dois conceitos principais: a equação da continuidade e a equação de Bernoulli. Vamos precisar dessas ferramentas para descobrir a velocidade e a pressão da água no segundo piso. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos tratar da parte (a) do exercício, que pede para descobrir a velocidade da água no segundo piso. Para isso, vamos usar a equação da continuidade, que basicamente diz que a quantidade de água que entra em um ponto do cano tem que igualar a quantidade que sai, considerando as diferentes áreas dos dois pontos.
A equação da continuidade é:
A1 v1 = A2 v2
Onde:
  • e são as áreas das seções do cano nos pontos 1 e 2.
  • e são as velocidades da água nos pontos 1 e 2.
Mas para aplicar essa equação, precisamos calcular as áreas dos dois canos.

Passo 3

Vamos calcular as áreas das seções do cano. A área de um círculo é dada por:
A = pi ( d2 )^2
Onde A1 = pi ( 2,5 , cm2 )^2 = pi (1,25)^2 approx 4,91 , cm^2 é o diâmetro.
Para o cano 1 (diâmetro de 2,5 cm):
A2 = pi ( 1,2 , cm2 )^2 = pi (0,6)^2 approx 1,13 , cm^2
Para o cano 2 (diâmetro de 1,2 cm):

Passo 4

Agora que temos as áreas, vamos aplicar a equação da continuidade para encontrar A1 v1 = A2 v2 :
v2 = A1 v1A2
Isolando v2 = 4,91 , cm^2 times 0,90 , m/s1,13 , cm^2 approx 4,4191,13 , m/s approx 3,91 , m/s :
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b), que pede para encontrar a pressão da água no segundo piso. Aqui, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura em dois pontos diferentes de um fluido em movimento.
A equação de Bernoulli é:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • é a pressão,
  • é a densidade da água (aprox. ),
  • é a velocidade,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.
Vamos considerar que o ponto 1 está no subsolo ( ) e o ponto 2 está no segundo piso ( ).

Passo 6

Vamos reorganizar a equação de Bernoulli para resolver P2 = P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 - 12 rho v2^2 - rho g h2 :
P2 = P1 + 12 rho v1^2 - 12 rho v2^2 - rho g h2
Como P2 = 170 times 10^3 , Pa + 12 times 1000 , kg/m^3 times (0,90 , m/s)^2 - 12 times 1000 , kg/m^3 times (3,91 , m/s)^2 - 1000 , kg/m^3 times 9,81 , m/s^2 times 7,6 , m , simplificamos para:
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
  1. 12 times 1000 times 0,90^2 = 0,5 times 1000 times 0,81 = 405 , Pa :
12 times 1000 times 3,91^2 = 0,5 times 1000 times 15,29 approx 7645 , Pa
  1. 1000 times 9,81 times 7,6 = 74556 , Pa :
  1. :

Passo 8

Agora, substituímos esses valores na equação de P2 = 170000 + 405 - 7645 - 74556 :
170000 + 405 = 170405
Calculando passo a passo:
170405 - 7645 = 162760
162760 - 74556 = 88204 , Pa
P2 = 88,204 , kPa
Convertendo para kPa:

Resposta

(a) A velocidade da água no segundo piso é aproximadamente .
(b) A pressão da água no segundo piso é aproximadamente .

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