Um cano de diâmetro interno de transporta água para o subsolo de uma casa a uma velocidade de e a uma pressão de 170 kPa . Se o cano se estreita para e sobe para o segundo piso acima do ponto de entrada, quais são (a) a velocidade e (b) a pressão da água no segundo piso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de mecânica dos fluidos que envolve dois conceitos principais: a equação da continuidade e a equação de Bernoulli. Vamos precisar dessas ferramentas para descobrir a velocidade e a pressão da água no segundo piso. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos tratar da parte (a) do exercício, que pede para descobrir a velocidade da água no segundo piso. Para isso, vamos usar a equação da continuidade, que basicamente diz que a quantidade de água que entra em um ponto do cano tem que igualar a quantidade que sai, considerando as diferentes áreas dos dois pontos.
A equação da continuidade é:
Onde:
  • e são as áreas das seções do cano nos pontos 1 e 2.
  • e são as velocidades da água nos pontos 1 e 2.
Mas para aplicar essa equação, precisamos calcular as áreas dos dois canos.

Passo 3

Vamos calcular as áreas das seções do cano. A área de um círculo é dada por:
Onde é o diâmetro.
Para o cano 1 (diâmetro de 2,5 cm):
Para o cano 2 (diâmetro de 1,2 cm):

Passo 4

Agora que temos as áreas, vamos aplicar a equação da continuidade para encontrar :
Isolando :
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b), que pede para encontrar a pressão da água no segundo piso. Aqui, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura em dois pontos diferentes de um fluido em movimento.
A equação de Bernoulli é:
Onde:
  • é a pressão,
  • é a densidade da água (aprox. ),
  • é a velocidade,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.
Vamos considerar que o ponto 1 está no subsolo ( ) e o ponto 2 está no segundo piso ( ).

Passo 6

Vamos reorganizar a equação de Bernoulli para resolver :
Como , simplificamos para:
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 8

Agora, substituímos esses valores na equação de :
Calculando passo a passo:
Convertendo para kPa:

Resposta

(a) A velocidade da água no segundo piso é aproximadamente .
(b) A pressão da água no segundo piso é aproximadamente .

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