Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada quatro horas. Assim, o número de bactérias após t horas é dado pela função a seguir . Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 102.400 bactérias depois de quantas horas? F(t)= 100 . 2^t/4​

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. A gente tem uma população inicial de 100 bactérias que dobra a cada 4 horas. A função que descreve isso é $ F(t) = 100 \times 2^{\frac{t}{4}} $, onde $ t $ é o tempo em horas. A pergunta é: depois de quantas horas teremos 102.400 bactérias?

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação com a informação que queremos: $ 102.400 = 100 \times 2^{\frac{t}{4}} $. Nosso objetivo é descobrir o valor de $ t $.

Passo 3

Para simplificar, vamos dividir os dois lados da equação por 100. Assim, temos:
102.400100 = 2^t4
1.024 = 2^t4

Passo 4

Agora, precisamos resolver para $ t $. Sabemos que $ 1.024 $ é uma potência de 2. Vamos descobrir qual potência exatamente:
t
Então, podemos substituir na equação:
1.024

Passo 5

Como as bases são iguais (ambas são 2), podemos igualar os expoentes:
10 = t4

Passo 6

Agora, basta resolver para $ t $. Multiplicamos ambos os lados por 4:
t
t = 10 times 4

Resposta

Depois de 40 horas, a população de bactérias será de 102.400.

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