Um cano rompido em uma plataforma petrolífera do Mar do Norte produz uma mancha de óleo circular que tem y metros de espessura a uma distância x metros do local do vazamento. A turbulência torna difícil medir diretamente a espessura da mancha no local do vazamento
, mas para
, observa-se que:
Supondo que a distribuição de óleo no mar seja contínua, qual é a espessura estimada no local do vazamento?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma mancha de óleo que se espalha a partir de um vazamento em uma plataforma no Mar do Norte. A espessura da mancha de óleo, que chamaremos de
, varia com a distância
do ponto do vazamento. A gente tem uma fórmula que relaciona
e
:
O objetivo aqui é descobrir qual é a espessura da mancha exatamente no local do vazamento, ou seja, quando
. Como a medição direta nesse ponto é complicada por causa da turbulência, vamos usar cálculos para estimar esse valor. Para isso, a gente vai precisar entender um pouco de cálculo, especialmente o conceito de limite, que ajuda a encontrar valores próximos de um ponto mesmo quando não conseguimos calcular diretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
na fórmula para ver o que acontece:
Aí já vimos um problemão: temos uma forma indeterminada
. Isso quer dizer que simplesmente substituir não funciona e precisamos de outra estratégia para descobrir o que acontece quando
se aproxima de 0.
Passo 3
Quando nos deparamos com uma forma indeterminada
, uma ferramenta útil é a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que, se o limite de
quando
se aproxima de algum valor resulta em
, podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.
Então, vamos identificar
e
na nossa função:
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
E a derivada de
:
Passo 5
Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 0:
Vamos substituir
nessa nova expressão:
Resposta
A espessura estimada no local do vazamento é de 0,375 metros.