Um cano rompido em uma plataforma petrolífera do Mar do Norte produz uma mancha de óleo circular que tem y metros de espessura a uma distância x metros do local do vazamento. A turbulência torna difícil medir diretamente a espessura da mancha no local do vazamento x = 0, mas para x > 0, observa-se que:
y = 0,5 * (x^2 + 3 * x) / (x^3 + x^2 + 4 * x)
Supondo que a distribuição de óleo no mar seja contínua, qual é a espessura estimada no local do vazamento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma mancha de óleo que se espalha a partir de um vazamento em uma plataforma no Mar do Norte. A espessura da mancha de óleo, que chamaremos de , varia com a distância do ponto do vazamento. A gente tem uma fórmula que relaciona e :
O objetivo aqui é descobrir qual é a espessura da mancha exatamente no local do vazamento, ou seja, quando . Como a medição direta nesse ponto é complicada por causa da turbulência, vamos usar cálculos para estimar esse valor. Para isso, a gente vai precisar entender um pouco de cálculo, especialmente o conceito de limite, que ajuda a encontrar valores próximos de um ponto mesmo quando não conseguimos calcular diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir na fórmula para ver o que acontece:
Aí já vimos um problemão: temos uma forma indeterminada . Isso quer dizer que simplesmente substituir não funciona e precisamos de outra estratégia para descobrir o que acontece quando se aproxima de 0.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma forma indeterminada , uma ferramenta útil é a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que, se o limite de quando se aproxima de algum valor resulta em , podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.
Então, vamos identificar e na nossa função:
Agora, vamos calcular as derivadas de e .

Passo 4

Calculando a derivada de :
E a derivada de :

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, calculamos o limite de quando se aproxima de 0:
Vamos substituir nessa nova expressão:

Resposta

A espessura estimada no local do vazamento é de 0,375 metros.

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