Cap. 25 - Associação de capacitores 2
Um capacitor de placas paralelas com área de placa
e separação entre as placas
tem uma capacitância de
com o espaço entre as placas vazio. o espaço é então preenchido com dois materiais dielétricos, um com constante dielétrica 2.0 e outro com constante dielétrica 4.0 . Cada lâmina dielétrica tem área
e espessura
, o empilhamento dos dielétricos resultando no espaço sendo completamente preenchido. Qual das seguintes combinações de capacitores terá a mesma capacitância do novo capacitor de placas paralelas preenchido?
Um capacitor de
e um capacitor de
em paralelo
Um capacitor de
e um capacitor de
em série
Um capacitor de
e um capacitor de
em paralelo
Um capacitor de
e um capacitor de
em série
Um capacitor de placas paralelas com área de placa
Um capacitor de
Um capacitor de
Um capacitor de
Um capacitor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitores! A gente tem um capacitor de placas paralelas com área
e distância
entre as placas, com capacitância de
sem nada entre as placas (somente vácuo). Depois, preenchemos o espaço com dois materiais dielétricos diferentes, cada um ocupando metade da distância entre as placas. O objetivo é descobrir qual combinação de capacitores em série ou paralelo vai dar a mesma capacitância desse novo capacitor. Vamos usar as fórmulas de capacitância para capacitores com dielétricos e entender como eles se combinam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor de placas paralelas sem dielétrico é dada por:
onde
é a permissividade do vácuo.
Sabemos que
, então podemos usar isso mais tarde se precisar.
Passo 3
Quando adicionamos dielétricos, a capacitância muda. Se o dielétrico tem constante dielétrica
, a nova capacitância é:
No nosso caso, temos dois dielétricos diferentes, cada um com metade da distância entre as placas, então eles atuam como capacitores em série.
Passo 4
Vamos considerar cada metade como um capacitor separado:
- Primeiro dielétrico:
, distância . - Segundo dielétrico:
, distância .
A capacitância de cada um será:
Passo 5
Agora, como esses dois capacitores estão em série, a capacitância total
é dada por:
Substituindo
e
:
Então,
Passo 6
Como sabemos que
, substituindo:
Passo 7
Agora, vamos ver qual das combinações oferecidas resulta em
.
- A) Em paralelo:
(não é igual a ) - B) Em série:
(não) - C) Em paralelo:
(não) - D) Em série:
(é igual!)
Resposta
A combinação de um capacitor de
e um capacitor de
em série tem a mesma capacitância do novo capacitor cheio de dielétricos, ou seja,
.
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Utilizando os operadores
e
, mostre que:
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) em um campo elétrico uniforme
são dados por
(Dica: a solução está no complemento
, páginas 552 e 553)
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dado por