Mostre que os níveis de energia de um oscilador harmônico simples carregado (com carga
) em um campo elétrico uniforme
são dados por
(Dica: a solução está no complemento
, páginas 552 e 553)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que os níveis de energia de um oscilador harmônico simples carregado em um campo elétrico uniforme são dados por uma certa fórmula. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre os osciladores harmônicos e como eles se comportam quando submetidos a um campo elétrico. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria dos osciladores harmônicos quânticos e aplicar uma pequena perturbação devido ao campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são os níveis de energia de um oscilador harmônico quântico sem nenhum campo elétrico. Eles são dados por:
onde:
-
é o número quântico, -
é a constante de Planck reduzida, -
é a frequência angular do oscilador.
Passo 3
Agora, vamos introduzir o campo elétrico uniforme
. Quando um oscilador carregado com carga
está nesse campo, ele sofre uma força adicional devido ao campo elétrico. Essa força pode ser tratada como uma perturbação no sistema.
A energia potencial adicional devido ao campo elétrico é:
Passo 4
Para achar como essa perturbação afeta os níveis de energia, usamos a teoria de perturbação de primeira ordem. A correção na energia é dada pela expectativa do potencial
no estado base:
Então, precisamos calcular
.
Passo 5
Sabemos que, para o oscilador harmônico, o valor esperado de
no estado
é zero porque a distribuição é simétrica. Portanto, a primeira ordem da perturbação não contribui para a energia.
Passo 6
Como a primeira ordem não contribuiu, vamos para a segunda ordem da teoria de perturbação. A correção de segunda ordem na energia é:
Passo 7
Calculando essa soma, e usando as propriedades dos operadores de criação e aniquilação do oscilador harmônico, encontramos que a correção de segunda ordem resulta em:
Resposta
Portanto, mostramos que os níveis de energia do oscilador harmônico simples carregado em um campo elétrico uniforme são dados por