Mostre que os níveis de energia de um oscilador harmônico simples carregado (com carga ) em um campo elétrico uniforme são dados por
(Dica: a solução está no complemento , páginas 552 e 553)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que os níveis de energia de um oscilador harmônico simples carregado em um campo elétrico uniforme são dados por uma certa fórmula. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre os osciladores harmônicos e como eles se comportam quando submetidos a um campo elétrico. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria dos osciladores harmônicos quânticos e aplicar uma pequena perturbação devido ao campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são os níveis de energia de um oscilador harmônico quântico sem nenhum campo elétrico. Eles são dados por:
onde:
  • é o número quântico,
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é a frequência angular do oscilador.

Passo 3

Agora, vamos introduzir o campo elétrico uniforme . Quando um oscilador carregado com carga está nesse campo, ele sofre uma força adicional devido ao campo elétrico. Essa força pode ser tratada como uma perturbação no sistema.
A energia potencial adicional devido ao campo elétrico é:

Passo 4

Para achar como essa perturbação afeta os níveis de energia, usamos a teoria de perturbação de primeira ordem. A correção na energia é dada pela expectativa do potencial no estado base:
Então, precisamos calcular .

Passo 5

Sabemos que, para o oscilador harmônico, o valor esperado de no estado é zero porque a distribuição é simétrica. Portanto, a primeira ordem da perturbação não contribui para a energia.

Passo 6

Como a primeira ordem não contribuiu, vamos para a segunda ordem da teoria de perturbação. A correção de segunda ordem na energia é:

Passo 7

Calculando essa soma, e usando as propriedades dos operadores de criação e aniquilação do oscilador harmônico, encontramos que a correção de segunda ordem resulta em:

Resposta

Portanto, mostramos que os níveis de energia do oscilador harmônico simples carregado em um campo elétrico uniforme são dados por

Exercícios relacionados

Cap. 25 - Associação de capacitores 2
Um capacitor de placas paralelas com área de placa e separação entre as placas tem uma capacitância de com o espaço entre as placas vazio. o espaço é então preenchido com dois materiais dielétricos, um com constante dielétrica 2.0 e outro com constante dielétrica 4.0 . Cada lâmina dielétrica tem área e espessura , o empilhamento dos dielétricos resultando no espaço sendo completamente preenchido. Qual das seguintes combinações de capacitores terá a mesma capacitância do novo capacitor de placas paralelas preenchido?
Um capacitor de e um capacitor de em paralelo
Um capacitor de e um capacitor de em série
Um capacitor de e um capacitor de em paralelo
Um capacitor de e um capacitor de em série
Um pendulo de torgAlo consiste em uma esfera maciga presa em seu abxo de simetria por um fio de diametro . Um aluno efetuou medidas do periodo T (em s) em funcilo do comprimento deste fio (em ). A esfora possuia massa e diametro . Atraves do método de minimos quadrados, ele ajustou os dados do quadrado do periodo em fungto de L. Este ajuste forneceu a seguinte equaglo da reta para seus dados:
Sem resolver a equação de Schrödinger, diga quais são os autovalores de energia e as respectivas autofunções para uma partícula que se move no potencial dado por
Construa as matrizes que representam os operadores e na base . Utilizando estas matrizes, construa a matriz que representa o operador Hamiltoniano para o oscilador harmônico (a matriz que representa na base é diagonal, com os autovalores de energia sendo os elementos da diagonal principal)