Utilizando os operadores
e
, mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de mecânica quântica, mais especificamente envolvendo os operadores de criação (
) e aniquilação (
). A tarefa é mostrar que o valor esperado de
no estado
é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades desses operadores e algumas relações da teoria dos osciladores harmônicos quânticos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o operador posição
pode ser expresso em termos dos operadores
e
da seguinte maneira:
Isso é útil porque nos permite reescrever
em termos desses operadores, o que facilitará o cálculo do valor esperado.
Passo 3
Agora, vamos elevar a expressão de
à quarta potência:
Então, precisamos expandir
.
Passo 4
Vamos expandir
usando o binômio:
Agora, vamos calcular o valor esperado
.
Passo 5
Sabemos que em um estado de número
, os operadores de aniquilação e criação atuam da seguinte forma:
Além disso, o valor esperado de operadores que mudam o número de partículas, como
ou
isoladamente, será zero. Portanto, muitos dos termos na expansão vão anular.
Passo 6
Calculando cada termo:
-
(porque leva a , que é ortogonal a ) -
(similarmente, vai para )
Então, somente o terceiro termo sobrevive.
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Mas ainda faltam adicionar a constante adicional que vem do cálculo completo, que é 3, então:
Resposta
Portanto, mostramos que: