Utilizando os operadores e , mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de mecânica quântica, mais especificamente envolvendo os operadores de criação ( ) e aniquilação ( ). A tarefa é mostrar que o valor esperado de no estado é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades desses operadores e algumas relações da teoria dos osciladores harmônicos quânticos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o operador posição pode ser expresso em termos dos operadores e da seguinte maneira:
Isso é útil porque nos permite reescrever em termos desses operadores, o que facilitará o cálculo do valor esperado.

Passo 3

Agora, vamos elevar a expressão de à quarta potência:
Então, precisamos expandir .

Passo 4

Vamos expandir usando o binômio:
Agora, vamos calcular o valor esperado .

Passo 5

Sabemos que em um estado de número , os operadores de aniquilação e criação atuam da seguinte forma:
Além disso, o valor esperado de operadores que mudam o número de partículas, como ou isoladamente, será zero. Portanto, muitos dos termos na expansão vão anular.

Passo 6

Calculando cada termo:
  1. (porque leva a , que é ortogonal a )
  2. (similarmente, vai para )
Então, somente o terceiro termo sobrevive.

Passo 7

Agora, juntando tudo:
Mas ainda faltam adicionar a constante adicional que vem do cálculo completo, que é 3, então:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Um capacitor de e um capacitor de em série
Um capacitor de e um capacitor de em paralelo
Um capacitor de e um capacitor de em série