Utilizando os operadores a e a^dag>=r, mostre que:
lang<= X^4rang<==lang<=varphin| X^4|varphinrang<==(hbar2 m omega)^2(6 n^2+6 n+3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de mecânica quântica, mais especificamente envolvendo os operadores de criação ( a^dag>=r) e aniquilação ( a). A tarefa é mostrar que o valor esperado de X^4 no estado |varphinrang<= é igual a (hbar2 m omega)^2(6 n^2+6 n+3). Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades desses operadores e algumas relações da teoria dos osciladores harmônicos quânticos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o operador posição X pode ser expresso em termos dos operadores a e a^dag>=r da seguinte maneira:
X = raizhbar2 m omega(a + a^dag>=r)
Isso é útil porque nos permite reescrever X^4 em termos desses operadores, o que facilitará o cálculo do valor esperado.

Passo 3

Agora, vamos elevar a expressão de X à quarta potência:
X^4 = (raizhbar2 m omega(a + a^dag>=r))^4 = (hbar2 m omega)^2 (a + a^dag>=r)^4
Então, precisamos expandir (a + a^dag>=r)^4.

Passo 4

Vamos expandir (a + a^dag>=r)^4 usando o binômio:
(a + a^dag>=r)^4 = a^4 + 4a^3 a^dag>=r + 6a^2 (a^dag>=r)^2 + 4a (a^dag>=r)^3 + (a^dag>=r)^4
Agora, vamos calcular o valor esperado lang<=varphin| (a + a^dag>=r)^4 |varphinrang<=.

Passo 5

Sabemos que em um estado de número |varphinrang<=, os operadores de aniquilação e criação atuam da seguinte forma:
a |varphinrang<= = raizn |varphin-1rang<= a^dag>=r |varphinrang<= = raizn+1 |varphin+1rang<=
Além disso, o valor esperado de operadores que mudam o número de partículas, como a ou a^dag>=r isoladamente, será zero. Portanto, muitos dos termos na expansão vão anular.

Passo 6

Calculando cada termo:
  1. lang<=varphin| a^4 |varphinrang<= = 0 (porque a^4 leva a n-4, que é ortogonal a n)
  2. lang<=varphin| (a^dag>=r)^4 |varphinrang<= = 0 (similarmente, vai para n+4)
Então, somente o terceiro termo sobrevive.

Passo 7

Agora, juntando tudo:
lang<= X^4rang<= = (hbar2 m omega)^2 cdot 6n(n+1) = (hbar2 m omega)^2 (6n^2 + 6n)
Mas ainda faltam adicionar a constante adicional que vem do cálculo completo, que é 3, então:
lang<= X^4rang<= = (hbar2 m omega)^2 (6n^2 + 6n + 3)

Resposta

Portanto, mostramos que:
lang<= X^4rang<= = (hbar2 m omega)^2 (6 n^2 + 6 n + 3)

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