Sem resolver a equação de Schrödinger, diga quais são os autovalores de energia e as respectivas autofunções para uma partícula que se move no potencial
dado por
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move em um potencial
que é uma “parabéns” (uma forma de poteincial harmônico) para
e
para
. Isso significa que a partícula só pode existir na região
porque para
, a energia do potencial é infinita, o que impede a partícula de estar lá. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica sobre partículas em potenciais confinados, especificamente olhando para os autovalores de energia (os níveis de energia que a partícula pode ter) e as autofunções (as funções de onda correspondentes a esses níveis de energia).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, os autovalores de energia são os possíveis valores de energia que a partícula pode ter quando ela está em um estado estacionário. As autofunções são as funções de onda associadas a esses autovalores, descrevendo a probabilidade de encontrar a partícula em uma certa posição.
No nosso caso, o potencial
é uma parabéns unilateral, já que é harmônico apenas para
e infinito para
. Isso cria uma barreira infinita em
, restringindo a partícula para
.
Passo 3
O potencial harmônico
é familiar; é aquele do oscilador harmônico quântico, cujos autovalores de energia são bem conhecidos:
, onde
.
Mas aqui temos uma diferença: nosso potencial só existe para
, e é infinito para
. Isso significa que a partícula está confinada a
, e precisamos considerar como isso afeta os estados de energia e as funções de onda.
Passo 4
Devido à condição
para
, a função de onda
deve ser zero para
. Além disso, na fronteira
, a função de onda deve satisfazer
. No caso do oscilador harmônico completo, as funções de onda são combinações de funções pares e ímpares. Mas aqui, devido à barreira infinita, apenas as funções ímpares do oscilador harmônico completo estarão permitidas, pois elas naturalmente se anulam em
.
Passo 5
As funções de onda ímpares do oscilador harmônico completo correspondem aos estados com números quânticos ímpares
. Portanto, os autovalores de energia para nosso problema serão aqueles correspondentes a
ímpar no oscilador harmônico completo.
Assim, os autovalores de energia serão:
Passo 6
As autofunções correspondentes são as funções de onda ímpares do oscilador harmônico completo, que podem ser expressas usando os polinômios de Hermite
:
onde
é uma constante de normalização.
Passo 7
Como a partícula está confinada a
, consideramos apenas a parte da função de onda para
. Portanto, as autofunções que satisfazem
são:
onde
é o comprimento característico do oscilador.
Resposta
Os autovalores de energia são
para
e as respectivas autofunções são
onde
e
são os polinômios de Hermite.
Exercícios relacionados
Mostre que os níveis de energia de um oscilador harmônico simples carregado (com carga
) em um campo elétrico uniforme
são dados por
(Dica: a solução está no complemento
, páginas 552 e 553)
Cap. 25 - Associação de capacitores 2
Um capacitor de placas paralelas com área de placa e separação entre as placas
tem uma capacitância de
com o espaço entre as placas vazio. o espaço é então preenchido com dois materiais dielétricos, um com constante dielétrica 2.0 e outro com constante dielétrica 4.0 . Cada lâmina dielétrica tem área
e espessura
, o empilhamento dos dielétricos resultando no espaço sendo completamente preenchido. Qual das seguintes combinações de capacitores terá a mesma capacitância do novo capacitor de placas paralelas preenchido?
Um capacitor de e um capacitor de
em paralelo
Um capacitor de e um capacitor de
em série
Um capacitor de e um capacitor de
em paralelo
Um capacitor de e um capacitor de
em série
Um capacitor de placas paralelas com área de placa
Um capacitor de
Um capacitor de
Um capacitor de
Um capacitor de
Construa as matrizes que representam os operadores
e
na base
. Utilizando estas matrizes, construa a matriz que representa o operador Hamiltoniano para o oscilador harmônico (a matriz que representa
na base
é diagonal, com os autovalores de energia sendo os elementos da diagonal principal)
Como o vetor de estado normalizado
é definido a menos de um fator de fase global, fixamos este valor escolhendo
real e positivo. Fazemos:
. Assumimos que
e que
Calcule
Resposta:
Resposta: