Sem resolver a equação de Schrödinger, diga quais são os autovalores de energia e as respectivas autofunções para uma partícula que se move no potencial
dado por
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move em um potencial
que é uma “parabéns” (uma forma de poteincial harmônico) para
e
para
. Isso significa que a partícula só pode existir na região
porque para
, a energia do potencial é infinita, o que impede a partícula de estar lá. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica sobre partículas em potenciais confinados, especificamente olhando para os autovalores de energia (os níveis de energia que a partícula pode ter) e as autofunções (as funções de onda correspondentes a esses níveis de energia).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, os autovalores de energia são os possíveis valores de energia que a partícula pode ter quando ela está em um estado estacionário. As autofunções são as funções de onda associadas a esses autovalores, descrevendo a probabilidade de encontrar a partícula em uma certa posição.
No nosso caso, o potencial
é uma parabéns unilateral, já que é harmônico apenas para
e infinito para
. Isso cria uma barreira infinita em
, restringindo a partícula para
.
Passo 3
O potencial harmônico
é familiar; é aquele do oscilador harmônico quântico, cujos autovalores de energia são bem conhecidos:
, onde
.
Mas aqui temos uma diferença: nosso potencial só existe para
, e é infinito para
. Isso significa que a partícula está confinada a
, e precisamos considerar como isso afeta os estados de energia e as funções de onda.
Passo 4
Devido à condição
para
, a função de onda
deve ser zero para
. Além disso, na fronteira
, a função de onda deve satisfazer
. No caso do oscilador harmônico completo, as funções de onda são combinações de funções pares e ímpares. Mas aqui, devido à barreira infinita, apenas as funções ímpares do oscilador harmônico completo estarão permitidas, pois elas naturalmente se anulam em
.
Passo 5
As funções de onda ímpares do oscilador harmônico completo correspondem aos estados com números quânticos ímpares
. Portanto, os autovalores de energia para nosso problema serão aqueles correspondentes a
ímpar no oscilador harmônico completo.
Assim, os autovalores de energia serão:
Passo 6
As autofunções correspondentes são as funções de onda ímpares do oscilador harmônico completo, que podem ser expressas usando os polinômios de Hermite
:
onde
é uma constante de normalização.
Passo 7
Como a partícula está confinada a
, consideramos apenas a parte da função de onda para
. Portanto, as autofunções que satisfazem
são:
onde
é o comprimento característico do oscilador.
Resposta
Os autovalores de energia são
para
e as respectivas autofunções são
onde
e
são os polinômios de Hermite.