Sem resolver a equação de Schrödinger, diga quais são os autovalores de energia e as respectivas autofunções para uma partícula que se move no potencial dado por

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move em um potencial que é uma “parabéns” (uma forma de poteincial harmônico) para e para . Isso significa que a partícula só pode existir na região porque para , a energia do potencial é infinita, o que impede a partícula de estar lá. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica sobre partículas em potenciais confinados, especificamente olhando para os autovalores de energia (os níveis de energia que a partícula pode ter) e as autofunções (as funções de onda correspondentes a esses níveis de energia).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, os autovalores de energia são os possíveis valores de energia que a partícula pode ter quando ela está em um estado estacionário. As autofunções são as funções de onda associadas a esses autovalores, descrevendo a probabilidade de encontrar a partícula em uma certa posição.
No nosso caso, o potencial é uma parabéns unilateral, já que é harmônico apenas para e infinito para . Isso cria uma barreira infinita em , restringindo a partícula para .

Passo 3

O potencial harmônico é familiar; é aquele do oscilador harmônico quântico, cujos autovalores de energia são bem conhecidos: , onde .
Mas aqui temos uma diferença: nosso potencial só existe para , e é infinito para . Isso significa que a partícula está confinada a , e precisamos considerar como isso afeta os estados de energia e as funções de onda.

Passo 4

Devido à condição para , a função de onda deve ser zero para . Além disso, na fronteira , a função de onda deve satisfazer . No caso do oscilador harmônico completo, as funções de onda são combinações de funções pares e ímpares. Mas aqui, devido à barreira infinita, apenas as funções ímpares do oscilador harmônico completo estarão permitidas, pois elas naturalmente se anulam em .

Passo 5

As funções de onda ímpares do oscilador harmônico completo correspondem aos estados com números quânticos ímpares . Portanto, os autovalores de energia para nosso problema serão aqueles correspondentes a ímpar no oscilador harmônico completo.
Assim, os autovalores de energia serão:

Passo 6

As autofunções correspondentes são as funções de onda ímpares do oscilador harmônico completo, que podem ser expressas usando os polinômios de Hermite :
onde é uma constante de normalização.

Passo 7

Como a partícula está confinada a , consideramos apenas a parte da função de onda para . Portanto, as autofunções que satisfazem são:
onde é o comprimento característico do oscilador.

Resposta

Os autovalores de energia são para e as respectivas autofunções são
onde e são os polinômios de Hermite.

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