sim((A cap B) cup(sim A cap sim B))=(sim A cap B) cup(A cap sim B)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa expressão lógica que você me mandou! A gente está lidando com álgebra booleana, que é a parte da matemática que estuda operações com valores verdadeiros e falsos. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas leis básicas da lógica, como as Leis de De Morgan e a distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o lado esquerdo da igualdade:
sim((A cap B) cup (sim A cap sim B))
Aqui, temos a negação de uma união de duas interseções. Para simplificar, vamos aplicar as Leis de De Morgan, que dizem que a negação de uma união é igual à interseção das negações. Então:
sim((A cap B) cup (sim A cap sim B)) = sim(A cap B) cap sim(sim A cap sim B)

Passo 3

Agora, vamos aplicar novamente as Leis de De Morgan para cada uma das negações dentro da interseção:
sim(A cap B) = sim A cup sim B
e
sim(sim A cap sim B) = A cup B
Então, substituindo na expressão:
sim(A cap B) cap sim(sim A cap sim B) = (sim A cup sim B) cap (A cup B)

Passo 4

Agora, vamos distribuir a interseção sobre as uniões. Isso significa que vamos multiplicar cada termo:
(sim A cup sim B) cap (A cup B) = (sim A cap A) cup (sim A cap B) cup (sim B cap A) cup (sim B cap B)
Sabemos que:
sim A cap A = varnothing e sim B cap B = varnothing
Então, a expressão simplifica para:
(sim A cap B) cup (sim B cap A)

Passo 5

Agora, observamos que a expressão que obtivemos é exatamente o lado direito da igualdade original:
(sim A cap B) cup (A cap sim B)
Então, mostramos que:
sim((A cap B) cup (sim A cap sim B)) = (sim A cap B) cup (A cap sim B)

Resposta

Portanto, provamos que:
sim((A cap B) cup (sim A cap sim B)) = (sim A cap B) cup (A cap sim B)

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