(Cap4, Problema 107) Uma partícula
se move com velocidade escalar constante sobre uma circunferência de raio
(Fig. 456) e completa uma revolução a cada
. A partícula passa pelo ponto O no instante
. Os vetores pedidos a seguir devem ser expressos na notação módulo-ângulo (ângulo em relação ao sentido positivo de x). (d) Determine o deslocamento da partícula no intervalo de
entre o fim do quinto segundo e o fim do décimo segundo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o deslocamento de uma partícula que está se movendo em uma circunferência com raio de 3,00 m. A partícula completa uma volta toda a cada 20,0 segundos e queremos saber qual foi o deslocamento dela entre o final do 5º segundo e o final do 10º segundo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento circular uniforme, como velocidade angular e posição em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quanto a partícula gira por segundo. Sabemos que ela completa uma revolução (360 graus) em 20 segundos. Então, a velocidade angular
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos calcular o ângulo que a partícula percorre nos instantes de 5 segundos e 10 segundos.
Para
:
Para
:
Passo 4
A posição da partícula em qualquer instante pode ser expressa em coordenadas cartesianas usando as funções seno e cosseno. Vamos encontrar as posições nos tempos 5s e 10s.
Para
(
):
Para
(
):
Passo 5
O deslocamento é o vetor que vai da posição inicial (
) até a posição final (
). Para encontrar esse vetor, subtraímos as coordenadas de
das de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a magnitude (comprimento) desse vetor deslocamento:
Passo 7
Por fim, precisamos determinar a direção desse deslocamento. Como ambos os componentes são negativos, o vetor está no terceiro quadrante. O ângulo em relação ao eixo positivo de x é:
Resposta
O deslocamento da partícula no intervalo de 5,00 s a 10,00 s é de
com direção de
em relação ao eixo positivo de x.