(Cap4, Problema 107) Uma partícula P se move com velocidade escalar constante sobre uma circunferência de raio r=3,00 m (Fig. 456) e completa uma revolução a cada 20,0 s. A partícula passa pelo ponto O no instante t=O. Os vetores pedidos a seguir devem ser expressos na notação módulo-ângulo (ângulo em relação ao sentido positivo de x). (d) Determine o deslocamento da partícula no intervalo de 5,00 s entre o fim do quinto segundo e o fim do décimo segundo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o deslocamento de uma partícula que está se movendo em uma circunferência com raio de 3,00 m. A partícula completa uma volta toda a cada 20,0 segundos e queremos saber qual foi o deslocamento dela entre o final do 5º segundo e o final do 10º segundo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento circular uniforme, como velocidade angular e posição em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quanto a partícula gira por segundo. Sabemos que ela completa uma revolução (360 graus) em 20 segundos. Então, a velocidade angular omega = 360^circ20, s = 18^circ/s é dada por:

Passo 3

Agora, vamos calcular o ângulo que a partícula percorre nos instantes de 5 segundos e 10 segundos.
Para theta5 = omega times t = 18^circ/s times 5, s = 90^circ :
theta10 = omega times t = 18^circ/s times 10, s = 180^circ
Para :

Passo 4

A posição da partícula em qualquer instante pode ser expressa em coordenadas cartesianas usando as funções seno e cosseno. Vamos encontrar as posições nos tempos 5s e 10s.
Para P5 = ( r cos(90^circ), r sin(90^circ) ) = ( 3,m times 0, 3,m times 1 ) = (0, 3,m) ( P10 = ( r cos(180^circ), r sin(180^circ) ) = ( 3,m times (-1), 3,m times 0 ) = (-3,m, 0) ):
Para ( ):

Passo 5

O deslocamento é o vetor que vai da posição inicial ( De) até a posição final ( ). Para encontrar esse vetor, subtraímos as coordenadas de das de :

Passo 6

Agora, vamos calcular a magnitude (comprimento) desse vetor deslocamento:
|De

Passo 7

Por fim, precisamos determinar a direção desse deslocamento. Como ambos os componentes são negativos, o vetor está no terceiro quadrante. O ângulo em relação ao eixo positivo de x é:
theta = 180^circ + 45^circ = 225^circ

Resposta

O deslocamento da partícula no intervalo de 5,00 s a 10,00 s é de com direção de em relação ao eixo positivo de x.

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