A roda A, de 10 cm de raio, é acoplada por uma correia à roda B, cujo raio vale 25 cm. A roda A aumenta sua velocidade angular, a partir do repouso, à uma taxa uniforme de 1.6 rad / s^2. Supondo que a correia não deslize, a) determine o tempo para a roda B atingir a velocidade angular de 100 rev / min, e b) a aceleração de um ponto fixo à correia neste instante. Respostas: 16.4 s ; 68.5 m / s^2 em torno de A, 27.4 m / s^2 em torno de B, e 0.16 m / s^2 nos demais pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas rodas conectadas por uma correia que não desliza. A roda A tem raio de 10,cm e a roda B tem raio de 25,cm. A roda A começa do repouso e sua velocidade angular aumenta de forma uniforme com uma aceleração de 1.6,rad/s^2. Precisamos descobrir quanto tempo a roda B leva para chegar a uma velocidade angular de 100,rev/min e calcular a aceleração de um ponto na correia nesse instante. Vamos usar conceitos de cinemática rotacional e relações entre velocidades angulares de rodas conectadas por uma correia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre as rodas A e B pela correia. Como a correia não desliza, a velocidade linear na borda de A é igual à velocidade linear na borda de B. A velocidade linear v está relacionada com a velocidade angular omega e o raio r pela fórmula:
v = omega cdot r
Portanto, temos:
omegaA cdot rA = omegaB cdot rB

Passo 3

Vamos isolar omegaB:
omegaB = rArB cdot omegaA
Substituindo os valores dos raios:
omegaB = 10,cm25,cm cdot omegaA = 25 cdot omegaA

Passo 4

Agora, vamos converter a velocidade angular desejada de B para rad/s. Sabemos que:
1,rev = 2pi,rad
E:
100,rev/min = 100 cdot 2pi60,rad/s = 200pi60,rad/s approx 10.47,rad/s

Passo 5

Usando a relação entre omegaA e omegaB:
omegaB = 25 cdot omegaA Rightarrow omegaA = 52 cdot omegaB approx 52 cdot 10.47,rad/s approx 26.17,rad/s

Passo 6

Sabemos que a roda A parte do repouso e sua aceleração angular é uniforme. A relação entre velocidade angular, aceleração e tempo é:
omegaA = alpha cdot t
Onde alpha = 1.6,rad/s^2 e omegaA approx 26.17,rad/s. Então:
t = omegaAalpha = 26.171.6 approx 16.4,s

Passo 7

Agora, vamos calcular a aceleração de um ponto fixo na correia. A aceleração tangencial at está relacionada com a aceleração angular pela fórmula:
at = alpha cdot r
Para a roda A:
atA = 1.6,rad/s^2 cdot 0.10,m = 0.16,m/s^2
Para a roda B, primeiro precisamos encontrar a aceleração angular alphaB. Como omegaB = 25 omegaA, a aceleração angular de B é:
alphaB = 25 alphaA = 25 cdot 1.6,rad/s^2 = 0.64,rad/s^2
Então, a aceleração tangencial em B:
atB = alphaB cdot rB = 0.64,rad/s^2 cdot 0.25,m = 0.16,m/s^2
Além disso, considerando a velocidade angular de B, podemos calcular a aceleração centrípeta:
ac = omegaB^2 cdot rB = (10.47,rad/s)^2 cdot 0.25,m approx 27.4,m/s^2
Para a roda A, similarmente:
acA = omegaA^2 cdot rA = (26.17,rad/s)^2 cdot 0.10,m approx 68.5,m/s^2

Resposta

Tempo para a roda B atingir 100,rev/min: 16.4,s. Acelerações no instante: 68.5,m/s^2 em torno de A, 27.4,m/s^2 em torno de B, e 0.16,m/s^2 nos demais pontos.

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