A roda
, de
de raio, é acoplada por uma correia à roda
, cujo raio vale
. A roda
aumenta sua velocidade angular, a partir do repouso, à uma taxa uniforme de
. Supondo que a correia não deslize, a) determine o tempo para a roda
atingir a velocidade angular de
, e b) a aceleração de um ponto fixo à correia neste instante. Respostas:
em torno de
em torno de
, e
nos demais pontos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas rodas conectadas por uma correia que não desliza. A roda
tem raio de
e a roda
tem raio de
. A roda
começa do repouso e sua velocidade angular aumenta de forma uniforme com uma aceleração de
. Precisamos descobrir quanto tempo a roda
leva para chegar a uma velocidade angular de
e calcular a aceleração de um ponto na correia nesse instante. Vamos usar conceitos de cinemática rotacional e relações entre velocidades angulares de rodas conectadas por uma correia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre as rodas
e
pela correia. Como a correia não desliza, a velocidade linear na borda de
é igual à velocidade linear na borda de
. A velocidade linear
está relacionada com a velocidade angular
e o raio
pela fórmula:
Portanto, temos:
Passo 3
Vamos isolar
:
Substituindo os valores dos raios:
Passo 4
Agora, vamos converter a velocidade angular desejada de
para rad/s. Sabemos que:
E:
Passo 5
Usando a relação entre
e
:
Passo 6
Sabemos que a roda
parte do repouso e sua aceleração angular é uniforme. A relação entre velocidade angular, aceleração e tempo é:
Onde
e
. Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular a aceleração de um ponto fixo na correia. A aceleração tangencial
está relacionada com a aceleração angular pela fórmula:
Para a roda
:
Para a roda
, primeiro precisamos encontrar a aceleração angular
. Como
, a aceleração angular de
é:
Então, a aceleração tangencial em
:
Além disso, considerando a velocidade angular de
, podemos calcular a aceleração centrípeta:
Para a roda
, similarmente:
Resposta
Tempo para a roda
atingir
:
. Acelerações no instante:
em torno de
,
em torno de
, e
nos demais pontos.