Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo F=r F(r).
e) Mostre que
dotr=raiz2m[E-V(r)-L^22 m r^2]^1 / 2
com E sendo a energia total.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula sob a ação de uma força central, que depende apenas da distância até o centro. O conteúdo envolvido aqui é a Mecânica Clássica, especificamente o estudo de forças centrais e conservação de energia e momento angular. Para resolver, vamos precisar das leis de Newton, conservação de energia e momento angular, além de um pouco de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um movimento sob força central, o momento angular dottheta = Lm r^2 é conservado. Isso significa que é constante, onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a distância ao centro,
  • é a velocidade angular.
Como é constante, podemos expressar em termos de :

Passo 3

Agora, vamos considerar a energia total E = T + V(r) da partícula. A energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial:
T = 12 m ( dotr^2 + r^2 dottheta^2 )
A energia cinética T = 12 m dotr^2 + 12 m r^2 ( Lm r^2 )^2 = 12 m dotr^2 + L^22 m r^2 em coordenadas polares é dada por:
Substituindo que obtivemos antes:

Passo 4

Substituindo E = 12 m dotr^2 + L^22 m r^2 + V(r) na expressão da energia total:
12 m dotr^2 = E - V(r) - L^22 m r^2
Vamos isolar m dotr^2 = 2 ( E - V(r) - L^22 m r^2 ) :
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 5

Agora, vamos resolver para dotr^2 = 2m ( E - V(r) - L^22 m r^2 ) :
dotr = raiz 2m ( E - V(r) - L^22 m r^2 )
Tirando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:

Resposta

Portanto, demonstramos que:
dotr = raiz 2m [ E - V(r) - L^22 m r^2 ]

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