Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo
.
e) Mostre que
com
sendo a energia total.
e) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula sob a ação de uma força central, que depende apenas da distância
até o centro. O conteúdo envolvido aqui é a Mecânica Clássica, especificamente o estudo de forças centrais e conservação de energia e momento angular. Para resolver, vamos precisar das leis de Newton, conservação de energia e momento angular, além de um pouco de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um movimento sob força central, o momento angular
é conservado. Isso significa que
é constante, onde:
-
é a massa da partícula, -
é a distância ao centro, -
é a velocidade angular.
Como
é constante, podemos expressar
em termos de
:
Passo 3
Agora, vamos considerar a energia total
da partícula. A energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial:
A energia cinética
em coordenadas polares é dada por:
Substituindo
que obtivemos antes:
Passo 4
Substituindo
na expressão da energia total:
Vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Tirando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:
Resposta
Portanto, demonstramos que: