Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
F=kr^2 r
a) Mostre que o potencial efetivo é dado por
V^prime(r)=kr+L^22 m r^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o potencial efetivo para uma partícula que se move sob a força central é dado por . Vamos usar conceitos de dinâmica de partículas e energia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um movimento sob uma força central, podemos separar o movimento em radial e angular. A energia total da partícula é a soma da energia cinética radial, a energia cinética angular e o potencial da força central.

Passo 3

A energia cinética total T = Tradial + Tangular pode ser dividida em duas partes:
onde e . Aqui, é o momento angular, que é constante para forças centrais.

Passo 4

O potencial da força central V(r) = -integral F cdot dr = -integral kr^2 dr = kr está relacionada à força pela relação . Para a força , integrando, obtemos:

Passo 5

Agora, juntando tudo, a energia total E = Tradial + Tangular + V(r) = 12 m dotr^2 + L^22 m r^2 + kr da partícula é:
V^prime(r) = kr + L^22 m r^2
Para facilitar a análise do movimento, definimos o potencial efetivo como a soma das partes que dependem apenas de :

Resposta

O potencial efetivo é dado por
V^prime(r) = kr + L^22 m r^2

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