Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
a) Mostre que o potencial efetivo é dado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o potencial efetivo para uma partícula que se move sob a força central
é dado por
. Vamos usar conceitos de dinâmica de partículas e energia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um movimento sob uma força central, podemos separar o movimento em radial e angular. A energia total da partícula é a soma da energia cinética radial, a energia cinética angular e o potencial da força central.
Passo 3
A energia cinética total
pode ser dividida em duas partes:
onde
e
. Aqui,
é o momento angular, que é constante para forças centrais.
Passo 4
O potencial da força central
está relacionada à força pela relação
. Para a força
, integrando, obtemos:
Passo 5
Agora, juntando tudo, a energia total
da partícula é:
Para facilitar a análise do movimento, definimos o potencial efetivo
como a soma das partes que dependem apenas de
:
Resposta
O potencial efetivo é dado por