Mostre que a equação da elipse em coordenadas polares com a origem em um dos focos é dada por
em que
é a excentricidade da elipse e
é a metade do diâmetro maior.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos mostrar que a equação de uma elipse em coordenadas polares, com a origem em um dos focos, é dada por:
Aqui,
representa a excentricidade da elipse, que indica o quão alongada ela é, e
é a metade do diâmetro maior da elipse. Vamos precisar usar conceitos de geometria das elipses e coordenadas polares para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição básica de uma elipse. Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos onde a soma das distâncias até dois pontos fixos, chamados de focos, é constante.
Quando representamos essa elipse em coordenadas polares com a origem em um dos focos, a relação entre a distância
de um ponto na elipse ao foco e o ângulo
pode ser descrita por uma equação específica. Essa é a equação que queremos derivar.
Passo 3
Em coordenadas polares, a equação geral de uma conica com um foco na origem é:
Aqui,
é chamado de semi-látice (semi-latus rectum) e
é a excentricidade da conica. Para uma elipse, sabemos que a excentricidade
está relacionada ao semieixo maior
pela fórmula:
Passo 4
Substituindo a expressão de
na equação geral da conica, temos:
Essa é a equação polar da elipse com a origem em um dos seus focos.
Resposta
Portanto, mostramos que a equação da elipse em coordenadas polares com a origem em um dos focos é: