Mostre que a equação da elipse em coordenadas polares com a origem em um dos focos é dada por
r=a(1-epsilon^2)1+epsilon cos theta
em que epsilon é a excentricidade da elipse e a é a metade do diâmetro maior.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos mostrar que a equação de uma elipse em coordenadas polares, com a origem em um dos focos, é dada por:
r = a(1 - epsilon^2)1 + epsilon cos theta
Aqui, epsilon representa a excentricidade da elipse, que indica o quão alongada ela é, e a é a metade do diâmetro maior da elipse. Vamos precisar usar conceitos de geometria das elipses e coordenadas polares para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição básica de uma elipse. Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos onde a soma das distâncias até dois pontos fixos, chamados de focos, é constante.
Quando representamos essa elipse em coordenadas polares com a origem em um dos focos, a relação entre a distância r de um ponto na elipse ao foco e o ângulo theta pode ser descrita por uma equação específica. Essa é a equação que queremos derivar.

Passo 3

Em coordenadas polares, a equação geral de uma conica com um foco na origem é:
r = l1 + epsilon cos theta
Aqui, l é chamado de semi-látice (semi-latus rectum) e epsilon é a excentricidade da conica. Para uma elipse, sabemos que a excentricidade epsilon está relacionada ao semieixo maior a pela fórmula:
l = a (1 - epsilon^2)

Passo 4

Substituindo a expressão de l na equação geral da conica, temos:
r = a (1 - epsilon^2)1 + epsilon cos theta
Essa é a equação polar da elipse com a origem em um dos seus focos.

Resposta

Portanto, mostramos que a equação da elipse em coordenadas polares com a origem em um dos focos é:
r = a(1 - epsilon^2)1 + epsilon cos theta

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