A capacidade calorífica molar, a pressão constante, de um gás perfeito varia com a temperatura de acordo com a expressão
. Calcule
,
e
, quando a temperatura for elevada de
a
(a) A pressão constante e (b) A volume Constante. (1,5 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um gás perfeito cuja capacidade calorífica molar a pressão constante, $ C_p $, varia com a temperatura de acordo com a expressão $ C_p (J/K) = 20,17 + 4,001 , T $. Queremos calcular o calor $ Q $, o trabalho $ W $, a variação de entalpia $ \Delta H $ e a variação de energia interna $ \Delta U $ quando a temperatura aumenta de $ 0^{\circ}C $ a $ 200^{\circ}C $ em duas situações: (a) à pressão constante e (b) a volume constante. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica como a primeira lei da termodinâmica, capacidade calorífica e propriedades dos gases perfeitos.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, já que as fórmulas térmicas usam Kelvin. Sabemos que:
Então:
Passo 3
Como a capacidade calorífica $ C_p $ depende da temperatura, precisamos integrar $ C_p $ em relação à temperatura para encontrar o calor $ Q $ absorvido pelo gás. A fórmula geral para o calor a pressão constante é:
Passo 4
Substituindo a expressão de $ C_p(T) $:
Vamos calcular essa integral:
Passo 5
Calculando os termos:
Passo 6
Somando os dois resultados:
Passo 7
Agora, para encontrar o trabalho $ W $ realizado à pressão constante, usamos:
Sabendo que para um gás perfeito, $ P \Delta V = n R \Delta T $. Mas como a quantidade de mols $ n $ e a constante dos gases $ R $ não foram fornecidas, vamos considerar que:
Passo 8
A variação de energia interna $ \Delta U $ para um gás perfeito é dada por:
Sabendo que $ C_p = C_v + R $, mas novamente, sem os valores de $ n $ ou $ R $, vamos relacionar as variações diretamente.
Passo 9
A variação de entalpia $ \Delta H $ é:
E a primeira lei da termodinâmica nos diz:
Passo 10
Com isso, concluímos que:
Sem valores adicionais, mantemos as relações em termos de $ Q_p $ e $ W_p $.
Resposta
À pressão constante:
- Calor absorvido, $ Q_p = 4332,42 , J $
- Variação de entalpia, $ \Delta H = 4332,42 , J $
- Variação de energia interna, $ \Delta U $ depende do trabalho realizado, $ \Delta U = Q_p - W_p $
- Trabalho realizado, $ W_p $ está relacionado a $ Q_p $ e $ \Delta U $ conforme a primeira lei da termodinâmica.