Um capacitor de 12 mu F é carregado a um potencial de 50 V e depois descarregado através de um resistor de 225 Omega. Quanto tempo leva para o capacitor perder:
(a) metade da carga;
(b) metade da energia armazenada?

Passo 1

Vamos lá! O problema fala sobre como um capacitor descarrega sua carga através de um resistor. A gente tem um capacitor de 12,muF carregado a 50 V e depois conectado a um resistor de 225,Omega. Precisamos descobrir quanto tempo leva para o capacitor perder metade da carga (parte a) e metade da energia armazenada (parte b). Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de descarga de capacitores e entender como a carga e a energia diminuem com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a constante de tempo do circuito, que é o produto da resistência ( R) pelo capacitor ( C). A constante de tempo é importante porque nos ajuda a saber quanto tempo leva para a carga ou energia diminuir.
tau = R times C = 225,Omega times 12,muF = 225 times 12 times 10^-6 = 0,0027,segundos , (2,7,milissegundos)

Passo 3

Parte (a): Quanto tempo leva para o capacitor perder metade da carga?
A carga no capacitor desce exponencialmente, de acordo com a fórmula:
Q(t) = Q0 times e^-t/RC
Queremos achar o tempo t onde Q(t) = Q02:
Q02 = Q0 times e^-t/RC
Dividindo ambos os lados por Q0:
12 = e^-t/RC
Aplicando o logaritmo natural:
ln(12) = -tRC
Trocando os sinais:
t = RC times ln(2)
Agora, substituindo os valores:
t = 0,0027,s times 0,693 approx 0,00187,segundos , (1,87,milissegundos)

Passo 4

Parte (b): Quanto tempo leva para o capacitor perder metade da energia armazenada?
A energia armazenada em um capacitor é dada por:
U = 12 C V^2
A energia também desce exponencialmente, mas com o dobro da taxa da carga:
U(t) = U0 times e^-2t/RC
Queremos achar o tempo t onde U(t) = U02:
U02 = U0 times e^-2t/RC
Dividindo ambos os lados por U0:
12 = e^-2t/RC
Aplicando o logaritmo natural:
ln(12) = -2tRC
Trocando os sinais e resolvendo para t:
t = RC times ln(2)2
Substituindo os valores:
t = 0,0027,s times 0,6932 approx 0,000935,segundos , (0,935,milissegundos)

Resposta

(a) O capacitor leva aproximadamente 1,87,milissegundos para perder metade da carga.
(b) O capacitor leva aproximadamente 0,93,milissegundos para perder metade da energia armazenada.

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