Um disco de massa M e raio R inicia seu movimento do repouso no topo de um plano inclinado de altura h e ângulo de inclinação
. Assuma que o disco rola sem deslizar. O momento de inércia do disco é:
. A velocidade linear do disco quando ele chega na base do plano inclinado será:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) NDA
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) NDA
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco com massa $ M $ e raio $ R $ que começa a rolar sem deslizar do topo de um plano inclinado com altura $ h $ e ângulo de inclinação $ \theta $. Queremos descobrir qual será a velocidade linear do disco quando ele chegar na base do plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica e momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando o disco rola sem deslizar, sua energia mecânica total é uma combinação de energia potencial gravitacional e energia cinética (que inclui tanto a translacional quanto a rotacional). No topo do plano, o disco tem energia potencial e está parado, então sua energia mecânica é apenas a potencial.
A energia potencial no topo é dada por:
Passo 3
Quando o disco chega na base, ele perdeu a energia potencial e essa energia se transformou em energia cinética. A energia cinética total ($ E_k $) de um objeto que está rolando sem deslizar é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação.
A energia cinética de translação é:
E a energia cinética de rotação é:
Passo 4
Sabemos que $ I = \frac{1}{2} M R^2 $ para o disco, e que $ v = \omega R $ porque o disco está rolando sem deslizar. Vamos substituir $ \omega $ por $ \frac{v}{R} $ na expressão da energia cinética de rotação:
Passo 5
Agora, somando as energias cinética de translação e rotação, temos a energia cinética total no final:
Passo 6
Como a energia inicial é igual à energia final (conservação de energia), podemos igualar a energia potencial inicial à energia cinética final:
Passo 7
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ M $:
Agora, isolamos $ v^2 $:
Passo 8
Para encontrar $ v $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A velocidade linear do disco quando chega na base do plano inclinado é:
Portanto, a opção correta é a ©.