Um disco de massa M e raio R inicia seu movimento do repouso no topo de um plano inclinado de altura h e ângulo de inclinação theta. Assuma que o disco rola sem deslizar. O momento de inércia do disco é: I=12 M R^2. A velocidade linear do disco quando ele chega na base do plano inclinado será:
(a) vl=(34 g h)^1 / 2
(b) vf=(g h)^1 / 2
© vf=(43 g h)^1 / 2
(d) vT=(2 g h)^1 / 2
(e) vf=(3 g h)^1 / 2
(f) vf=(12 g h)^1 / 2
(g) vf=(13 g h)^1 / 2
(h) NDA

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco com massa $ M $ e raio $ R $ que começa a rolar sem deslizar do topo de um plano inclinado com altura $ h $ e ângulo de inclinação $ \theta $. Queremos descobrir qual será a velocidade linear do disco quando ele chegar na base do plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando o disco rola sem deslizar, sua energia mecânica total é uma combinação de energia potencial gravitacional e energia cinética (que inclui tanto a translacional quanto a rotacional). No topo do plano, o disco tem energia potencial e está parado, então sua energia mecânica é apenas a potencial.
A energia potencial no topo é dada por:
Ep = M cdot g cdot h

Passo 3

Quando o disco chega na base, ele perdeu a energia potencial e essa energia se transformou em energia cinética. A energia cinética total ($ E_k $) de um objeto que está rolando sem deslizar é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação.
A energia cinética de translação é:
Ek
E a energia cinética de rotação é:
Etrans = 12 M v^2

Passo 4

Sabemos que $ I = \frac{1}{2} M R^2 $ para o disco, e que $ v = \omega R $ porque o disco está rolando sem deslizar. Vamos substituir $ \omega $ por $ \frac{v}{R} $ na expressão da energia cinética de rotação:
I = 12 M R^2

Passo 5

Agora, somando as energias cinética de translação e rotação, temos a energia cinética total no final:
Ek = Etrans + Erot = 12 M v^2 + 14 M v^2 = 34 M v^2

Passo 6

Como a energia inicial é igual à energia final (conservação de energia), podemos igualar a energia potencial inicial à energia cinética final:
M cdot g cdot h = 34 M v^2

Passo 7

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ M $:
M
Agora, isolamos $ v^2 $:
g cdot h = 34 v^2

Passo 8

Para encontrar $ v $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
v

Resposta

A velocidade linear do disco quando chega na base do plano inclinado é:
vf = ( 43 g h )^1/2
Portanto, a opção correta é a ©.

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