Um capacitor de 158 mu Fe um indutor formam um circuito L C que oscila com uma frequência de 8,15 kHz e uma amplitude de corrente de 4,21 mA. Determine (a) a impedância; (b) a energia total do circuito; © a carga máxima do capacitor.

Passo 1

Beleza, galera! Temos aqui um exercício que envolve um circuito oscilante formado por um capacitor e um indutor. A gente vai usar conceitos de circuitos elétricos, especificamente de circuitos LC (indutor-capacitor). Precisamos determinar três coisas: a impedância do circuito, a energia total armazenada e a carga máxima no capacitor. Para isso, vamos precisar das fórmulas de impedância em circuitos LC, energia armazenada em indutores e capacitores, e a relação entre carga, capacitância e voltagem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Capacitância $ C = 158 , \mu\mathrm{F} = 158 \times 10^{-6} , \mathrm{F} $
  • Frequência de oscilação $ f = 8,15 , \mathrm{kHz} = 8150 , \mathrm{Hz} $
  • Amplitude da corrente $ I_0 = 4,21 , \mathrm{mA} = 4,21 \times 10^{-3} , \mathrm{A} $
Para encontrar a impedância, precisamos primeiro calcular a frequência angular $ \omega $, que é dada por:
C = 158 , muF = 158 times 10^-6 , F

Passo 3

Calculando $ \omega $:
omega

Passo 4

Agora, a impedância $ Z $ de um circuito LC é dada por:
Z
Como o problema não menciona resistência $ R $, vamos assumir que $ R = 0 $. Assim, a expressão simplifica para:
Z = raiz( omega L - 1omega C )^2 + (R)^2
Aqui, precisamos conhecer o valor do indutor $ L $. Mas o enunciado menciona “um capacitor de $ 158 \mu\mathrm{Fe} $”, provavelmente significando $ 158 \mu\mathrm{F} $. Como não temos $ L $, parece que falta informação. Vamos supor que $ L $ seja o indutor do circuito LC.

Passo 5

Entretanto, vamos usar a relação fundamental de um circuito LC em ressonância, onde a frequência de ressonância $ f $ é dada por:
f
Podemos rearranjar essa fórmula para encontrar $ L $:
f = 12pi raizLC

Passo 6

Calculando $ L $:
L
Primeiro, calculamos $ (2\pi \times 8150)^2 $:
L = 1(2pi times 8150)^2 times 158 times 10^-6
Então:
(2pi times 8150)^2

Passo 7

Agora que temos $ L $, podemos calcular a impedância $ Z $:
L
Substituindo os valores:
Z
Calculando cada termo:
Z = omega L - 1omega C
Z = 51200 times 2,415 times 10^-3 - 151200 times 158 times 10^-6
Então:
51200 times 2,415 times 10^-3 approx 123,5 , Omega

Passo 8

Próximo passo, calcular a energia total do circuito. Em um circuito LC, a energia é armazenada tanto no indutor quanto no capacitor, e a energia total $ E $ é dada por:
E
Vamos usar isso para encontrar a energia total.

Passo 9

Substituindo os valores:
E = 12 times 2,415 times 10^-3 , H times (4,21 times 10^-3 , A)^2
Calculando:
(4,21 times 10^-3)^2 approx 1,77 times 10^-5 , A^2
Então:
E = 12 times 2,415 times 10^-3 times 1,77 times 10^-5 approx 2,136 times 10^-8 , J

Passo 10

Finalmente, para encontrar a carga máxima $ Q_{max} $ no capacitor, usamos a relação entre a amplitude da corrente e a carga:
Qmax
Mas primeiro, precisamos encontrar $ V_{max} $. Sabemos que $ V = I \times Z $, então:
Qmax = C Vmax
Calculando:
Vmax
Então:
V = I times Z

Resposta

(a) A impedância do circuito é aproximadamente $ 123,376 , \Omega $.
(b) A energia total do circuito é aproximadamente $ 2,14 \times 10^{-8} , \mathrm{J} $.
© A carga máxima do capacitor é aproximadamente $ 8,22 \times 10^{-5} , \mathrm{C} $.

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