Um capacitor de
um indutor formam um circuito
que oscila com uma frequência de
e uma amplitude de corrente de
. Determine (a) a impedância; (b) a energia total do circuito; © a carga máxima do capacitor.
Passo 1
Beleza, galera! Temos aqui um exercício que envolve um circuito oscilante formado por um capacitor e um indutor. A gente vai usar conceitos de circuitos elétricos, especificamente de circuitos LC (indutor-capacitor). Precisamos determinar três coisas: a impedância do circuito, a energia total armazenada e a carga máxima no capacitor. Para isso, vamos precisar das fórmulas de impedância em circuitos LC, energia armazenada em indutores e capacitores, e a relação entre carga, capacitância e voltagem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- Capacitância $ C = 158 , \mu\mathrm{F} = 158 \times 10^{-6} , \mathrm{F} $
- Frequência de oscilação $ f = 8,15 , \mathrm{kHz} = 8150 , \mathrm{Hz} $
- Amplitude da corrente $ I_0 = 4,21 , \mathrm{mA} = 4,21 \times 10^{-3} , \mathrm{A} $
Para encontrar a impedância, precisamos primeiro calcular a frequência angular $ \omega $, que é dada por:
Passo 3
Calculando $ \omega $:
Passo 4
Agora, a impedância $ Z $ de um circuito LC é dada por:
Como o problema não menciona resistência $ R $, vamos assumir que $ R = 0 $. Assim, a expressão simplifica para:
Aqui, precisamos conhecer o valor do indutor $ L $. Mas o enunciado menciona “um capacitor de $ 158 \mu\mathrm{Fe} $”, provavelmente significando $ 158 \mu\mathrm{F} $. Como não temos $ L $, parece que falta informação. Vamos supor que $ L $ seja o indutor do circuito LC.
Passo 5
Entretanto, vamos usar a relação fundamental de um circuito LC em ressonância, onde a frequência de ressonância $ f $ é dada por:
Podemos rearranjar essa fórmula para encontrar $ L $:
Passo 6
Calculando $ L $:
Primeiro, calculamos $ (2\pi \times 8150)^2 $:
Então:
Passo 7
Agora que temos $ L $, podemos calcular a impedância $ Z $:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 8
Próximo passo, calcular a energia total do circuito. Em um circuito LC, a energia é armazenada tanto no indutor quanto no capacitor, e a energia total $ E $ é dada por:
Vamos usar isso para encontrar a energia total.
Passo 9
Substituindo os valores:
Calculando:
Então:
Passo 10
Finalmente, para encontrar a carga máxima $ Q_{max} $ no capacitor, usamos a relação entre a amplitude da corrente e a carga:
Mas primeiro, precisamos encontrar $ V_{max} $. Sabemos que $ V = I \times Z $, então:
Calculando:
Então:
Resposta
(a) A impedância do circuito é aproximadamente $ 123,376 , \Omega $.
(b) A energia total do circuito é aproximadamente $ 2,14 \times 10^{-8} , \mathrm{J} $.
© A carga máxima do capacitor é aproximadamente $ 8,22 \times 10^{-5} , \mathrm{C} $.