No caso de um circuito RLC série, mostre que em um ciclo completo de período T (a) a energia armazenada no capacitor não varia; (b) a energia armazenada no indutor não varia; © a energia fornecida pela fonte alternada é (T/2) 8m I cos phi : (d) a energia dissipada no resistor é T R / 2 / 2. (e) Mostre que os resultados dos itens © e (d) sāo iguais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre circuito RLC série! A questão pede para mostrar algumas propriedades da energia nesse tipo de circuito durante um ciclo completo com período $ T $. Para isso, vamos precisar entender como a energia é armazenada no capacitor e no indutor, além de como a energia é fornecida pela fonte e dissipada no resistor. Vamos resolver parte por parte, explicando cada conceito à medida que avançamos.

Passo 2

Item (a): A energia armazenada no capacitor não varia
Primeiro, vamos falar sobre o capacitor. Em um circuito RLC série, a energia armazenada no capacitor em um instante qualquer é dada por:
WC = 12 C V^2
Onde:
  • $ C $ é a capacitância.
  • $ V $ é a tensão no capacitor.
Durante um ciclo completo, a energia armazenada no capacitor aumenta quando o capacitor está carregando e diminui quando está descarregando. No entanto, como o ciclo é completo e o sistema está em regime estacionário, a energia armazenada no início e no final do ciclo é a mesma. Isso significa que, ao final de um ciclo completo, a energia no capacitor não varia.

Passo 3

Item (b): A energia armazenada no indutor não varia
Agora, vamos para o indutor. A energia armazenada no indutor é dada por:
WL = 12 L I^2
Onde:
  • $ L $ é a indutância.
  • $ I $ é a corrente no indutor.
Assim como no capacitor, durante um ciclo completo, a energia no indutor aumenta quando a corrente está aumentando e diminui quando a corrente está diminuindo. No entanto, no final do ciclo, a energia armazenada no indutor retorna ao valor inicial, já que o sistema está em equilíbrio. Portanto, a energia armazenada no indutor não varia ao final de um ciclo completo.

Passo 4

Item ©: A energia fornecida pela fonte alternada é $ \frac{T}{2} V_m I \cos \phi $
A energia fornecida pela fonte alternada pode ser calculada usando a potência real entregue ao circuito. A potência real é dada por:
T2 Vm I cos phi
Onde:
  • $ V_m $ é a amplitude da tensão.
  • $ I $ é a corrente eficaz.
  • $ \phi $ é o ângulo de fase entre a tensão e a corrente.
A energia fornecida em um período $ T $ é a potência multiplicada pelo tempo. Porém, como a potência média ao longo de um ciclo é $ P $, a energia total fornecida pela fonte é:
P = Vm I cos phi
Mas, normalmente, a energia fornecida é considerada no meio do ciclo, então fica:
Vm

Passo 5

Item (d): A energia dissipada no resistor é $ \frac{T R}{4} $
A energia dissipada no resistor é calculada pela potência dissipada multiplicada pelo tempo. A potência dissipada no resistor é:
T R4
A energia dissipada em um período $ T $ é:
PR = I^2 R
Como a corrente em um circuito AC é eficaz $ I $, a energia efetivamente dissipada é metade desse valor devido aos ciclos positivos e negativos:
T

Passo 6

Item (e): Mostrar que os resultados dos itens © e (d) são iguais
Vamos comparar as expressões obtidas:
  • Energia fornecida pela fonte:
Efonte = T2 Vm I cos phi
  • Energia dissipada no resistor:
ER = T R4
Sabemos que, em um circuito RLC em regime estacionário, a potência real fornecida pela fonte é igual à potência dissipada no resistor. Logo:
T2 Vm I cos phi = T R4
Simplificando ambos os lados por $ \frac{T}{2} $:
T2
Isso mostra que as energias fornecidas e dissipada são iguais, confirmando o item (e).

Resposta

Demonstramos passo a passo que, em um ciclo completo de um circuito RLC série:
(a) A energia no capacitor não varia;
(b) A energia no indutor não varia;
© A energia fornecida pela fonte é $ \frac{T}{2} V_m I \cos \phi $;
(d) A energia dissipada no resistor é $ \frac{T R}{4} $;
(e) As energias dos itens © e (d) são iguais.

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