No caso de um circuito RLC série, mostre que em um ciclo completo de período
(a) a energia armazenada no capacitor não varia; (b) a energia armazenada no indutor não varia; © a energia fornecida pela fonte alternada é (T/2)
: (d) a energia dissipada no resistor é
. (e) Mostre que os resultados dos itens © e (d) sāo iguais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre circuito RLC série! A questão pede para mostrar algumas propriedades da energia nesse tipo de circuito durante um ciclo completo com período $ T $. Para isso, vamos precisar entender como a energia é armazenada no capacitor e no indutor, além de como a energia é fornecida pela fonte e dissipada no resistor. Vamos resolver parte por parte, explicando cada conceito à medida que avançamos.
Passo 2
Item (a): A energia armazenada no capacitor não varia
Primeiro, vamos falar sobre o capacitor. Em um circuito RLC série, a energia armazenada no capacitor em um instante qualquer é dada por:
Onde:
- $ C $ é a capacitância.
- $ V $ é a tensão no capacitor.
Durante um ciclo completo, a energia armazenada no capacitor aumenta quando o capacitor está carregando e diminui quando está descarregando. No entanto, como o ciclo é completo e o sistema está em regime estacionário, a energia armazenada no início e no final do ciclo é a mesma. Isso significa que, ao final de um ciclo completo, a energia no capacitor não varia.
Passo 3
Item (b): A energia armazenada no indutor não varia
Agora, vamos para o indutor. A energia armazenada no indutor é dada por:
Onde:
- $ L $ é a indutância.
- $ I $ é a corrente no indutor.
Assim como no capacitor, durante um ciclo completo, a energia no indutor aumenta quando a corrente está aumentando e diminui quando a corrente está diminuindo. No entanto, no final do ciclo, a energia armazenada no indutor retorna ao valor inicial, já que o sistema está em equilíbrio. Portanto, a energia armazenada no indutor não varia ao final de um ciclo completo.
Passo 4
Item ©: A energia fornecida pela fonte alternada é $ \frac{T}{2} V_m I \cos \phi $
A energia fornecida pela fonte alternada pode ser calculada usando a potência real entregue ao circuito. A potência real é dada por:
Onde:
- $ V_m $ é a amplitude da tensão.
- $ I $ é a corrente eficaz.
- $ \phi $ é o ângulo de fase entre a tensão e a corrente.
A energia fornecida em um período $ T $ é a potência multiplicada pelo tempo. Porém, como a potência média ao longo de um ciclo é $ P $, a energia total fornecida pela fonte é:
Mas, normalmente, a energia fornecida é considerada no meio do ciclo, então fica:
Passo 5
Item (d): A energia dissipada no resistor é $ \frac{T R}{4} $
A energia dissipada no resistor é calculada pela potência dissipada multiplicada pelo tempo. A potência dissipada no resistor é:
A energia dissipada em um período $ T $ é:
Como a corrente em um circuito AC é eficaz $ I $, a energia efetivamente dissipada é metade desse valor devido aos ciclos positivos e negativos:
Passo 6
Item (e): Mostrar que os resultados dos itens © e (d) são iguais
Vamos comparar as expressões obtidas:
- Energia fornecida pela fonte:
- Energia dissipada no resistor:
Sabemos que, em um circuito RLC em regime estacionário, a potência real fornecida pela fonte é igual à potência dissipada no resistor. Logo:
Simplificando ambos os lados por $ \frac{T}{2} $:
Isso mostra que as energias fornecidas e dissipada são iguais, confirmando o item (e).
Resposta
Demonstramos passo a passo que, em um ciclo completo de um circuito RLC série:
(a) A energia no capacitor não varia;
(b) A energia no indutor não varia;
© A energia fornecida pela fonte é $ \frac{T}{2} V_m I \cos \phi $;
(d) A energia dissipada no resistor é $ \frac{T R}{4} $;
(e) As energias dos itens © e (d) são iguais.
(b) A energia no indutor não varia;
© A energia fornecida pela fonte é $ \frac{T}{2} V_m I \cos \phi $;
(d) A energia dissipada no resistor é $ \frac{T R}{4} $;
(e) As energias dos itens © e (d) são iguais.