Mostre que a lei de Planck
u(lambda)=8 pi h clambda^5 1e^h c / lambda k T-1
quando expressa em termos da frequência f, se torna
u(f)=8 pi f^2c^3 h fe^h f / k T-1
Dica: Na aula 01 estabelecemos a que a igualdade entre as densidades de energia em frequência e comprimento de onda garante que u(f) d f=-u(lambda) d lambda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que a Lei de Planck expressa em termos de frequência se transforma na expressão dada. Para isso, precisamos entender como converter a lei de Planck de comprimento de onda para frequência . Vamos usar conceitos de física quântica e matemática de mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a relação entre comprimento de onda c = lambda f e frequência lambda = cf . Sabemos que a velocidade da luz é dada por:
Isso significa que podemos relacionar e como:

Passo 3

O próximo passo é entender a relação entre as densidades de energia u(f) , df = -u(lambda) , dlambda e . A dica nos diz que:
Isso significa que para converter em , precisamos calcular .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de lambda = cf Rightarrow dlambdadf = -cf^2 em relação a u(f) , df = -u(cf) (-cf^2) df = cf^2 u(cf) df :
u(f) = cf^2 u(cf)
Agora, substituímos na relação das densidades de energia:
Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos u(cf) = 8 pi h c(cf)^5 1e^h ccf k T - 1 = 8 pi h c f^5c^5 1e^h fk T - 1 = 8 pi h f^5c^4 1e^h fk T - 1 pela expressão da Lei de Planck em termos de u(f) = cf^2 cdot 8 pi h f^5c^4 1e^h fk T - 1 = 8 pi h f^3c^3 1e^h fk T - 1 :
Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

Assim, mostramos que a Lei de Planck em termos de frequência u(f)=8 pi f^2c^3 h fe^h f / k T-1 é:

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