Mostre que a lei de Planck
quando expressa em termos da frequência
, se torna
Dica: Na aula 01 estabelecemos a que a igualdade entre as densidades de energia em frequência e comprimento de onda garante que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que a Lei de Planck expressa em termos de frequência
se transforma na expressão dada. Para isso, precisamos entender como converter a lei de Planck de comprimento de onda
para frequência
. Vamos usar conceitos de física quântica e matemática de mudança de variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a relação entre comprimento de onda
e frequência
. Sabemos que a velocidade da luz
é dada por:
Isso significa que podemos relacionar
e
como:
Passo 3
O próximo passo é entender a relação entre as densidades de energia
e
. A dica nos diz que:
Isso significa que para converter
em
, precisamos calcular
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos
na relação das densidades de energia:
Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos
pela expressão da Lei de Planck em termos de
:
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
Assim, mostramos que a Lei de Planck em termos de frequência
é: