Mostre que a lei de Planck
quando expressa em termos da frequência , se torna
Dica: Na aula 01 estabelecemos a que a igualdade entre as densidades de energia em frequência e comprimento de onda garante que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que a Lei de Planck expressa em termos de frequência se transforma na expressão dada. Para isso, precisamos entender como converter a lei de Planck de comprimento de onda para frequência . Vamos usar conceitos de física quântica e matemática de mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a relação entre comprimento de onda e frequência . Sabemos que a velocidade da luz é dada por:
Isso significa que podemos relacionar e como:

Passo 3

O próximo passo é entender a relação entre as densidades de energia e . A dica nos diz que:
Isso significa que para converter em , precisamos calcular .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Agora, substituímos na relação das densidades de energia:
Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos pela expressão da Lei de Planck em termos de :
Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

Assim, mostramos que a Lei de Planck em termos de frequência é:

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