Um capacitor cilíndrico consiste em um núcleo condutor maciço, com raio de 0,215 cm, cercado por um tubo condutor oco externo. Os dois condutores estão separados por ar, e o comprimento do cilindro é igual a 10,5 cm. A capacitância é 31,9 pF. (a) Calcule o raio interno do tubo oco.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um capacitor cilíndrico com um núcleo interno de raio 0,215,cm e um tubo externo oco. A gente sabe que a capacitância desse capacitor é 31,9,pF e o comprimento do cilindro é 10,5,cm. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o raio interno do tubo oco externo. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da capacitância de um capacitor cilíndrico e entender um pouquinho sobre essa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da capacitância para um capacitor cilíndrico. A capacitância ( C) depende do comprimento do cilindro ( l), das permissividades do meio entre os cilindros (no caso, ar, que tem permissividade varepsilon0), e dos raios interno ( a) e externo ( b). A fórmula é:
C = 2pivarepsilon0 lln(ba)
Aqui, ln representa o logaritmo natural. Nosso objetivo é encontrar b, o raio interno do tubo oco externo.

Passo 3

Vamos organizar os valores que a gente já tem:
  • Capacitância, C = 31,9,pF = 31,9 times 10^-12,F
  • Comprimento, l = 10,5,cm = 0,105,m
  • Raio interno, a = 0,215,cm = 0,00215,m
  • Permissividade do vácuo, varepsilon0 = 8,854 times 10^-12,F/m
Vamos substituir esses valores na fórmula e resolver para b.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula da capacitância:
31,9 times 10^-12 = 2 times pi times 8,854 times 10^-12 times 0,105ln(b0,00215)
Agora, nosso objetivo é isolar ln(b0,00215).

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para isolar o logaritmo:
ln(b0,00215) = 2 times pi times 8,854 times 10^-12 times 0,10531,9 times 10^-12
Vamos calcular o valor do lado direito da equação.

Passo 6

Calculando o valor:
ln(b0,00215) = 2 times 3,1416 times 8,854 times 10^-12 times 0,10531,9 times 10^-12
Primeiro, multiplicamos os números no numerador:
2 times 3,1416 approx 6,2832
6,2832 times 8,854 times 10^-12 approx 5,562 times 10^-11
5,562 times 10^-11 times 0,105 approx 5,8401 times 10^-12
Agora, dividimos pelo denominador:
5,8401 times 10^-1231,9 times 10^-12 approx 0,183
Então:
ln(b0,00215) approx 0,183

Passo 7

Para encontrar b0,00215, vamos usar a função exponencial, já que e^ln(x) = x:
b0,00215 = e^0,183
Calculando e^0,183:
e^0,183 approx 1,200

Passo 8

Agora, vamos resolver para b:
b0,00215 = 1,200
Multiplicando ambos os lados por 0,00215:
b = 1,200 times 0,00215 approx 0,00258,m
Convertendo para centímetros:
0,00258,m = 0,258,cm

Resposta

O raio interno do tubo oco externo é aproximadamente 0,258,cm.

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