Um capacitor cilíndrico consiste em um núcleo condutor maciço, com raio de , cercado por um tubo condutor oco externo. Os dois condutores estão separados por ar, e o comprimento do cilindro é igual a . A capacitância é . (a) Calcule o raio interno do tubo oco.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um capacitor cilíndrico com um núcleo interno de raio e um tubo externo oco. A gente sabe que a capacitância desse capacitor é e o comprimento do cilindro é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o raio interno do tubo oco externo. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da capacitância de um capacitor cilíndrico e entender um pouquinho sobre essa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da capacitância para um capacitor cilíndrico. A capacitância ( ) depende do comprimento do cilindro ( ), das permissividades do meio entre os cilindros (no caso, ar, que tem permissividade ), e dos raios interno ( ) e externo ( ). A fórmula é:
Aqui, representa o logaritmo natural. Nosso objetivo é encontrar , o raio interno do tubo oco externo.

Passo 3

Vamos organizar os valores que a gente já tem:
  • Capacitância,
  • Comprimento,
  • Raio interno,
  • Permissividade do vácuo,
Vamos substituir esses valores na fórmula e resolver para .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula da capacitância:
Agora, nosso objetivo é isolar .

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para isolar o logaritmo:
Vamos calcular o valor do lado direito da equação.

Passo 6

Calculando o valor:
Primeiro, multiplicamos os números no numerador:
Agora, dividimos pelo denominador:
Então:

Passo 7

Para encontrar , vamos usar a função exponencial, já que :
Calculando :

Passo 8

Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Convertendo para centímetros:

Resposta

O raio interno do tubo oco externo é aproximadamente .

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Cada placa de um capacitor com placas paralelas possui área igual a e a distância entre as placas é de . A carga acumulada em cada placa possui módulo igual a C. As placas estão no vácuo. (a) Qual é o valor da capacitância?