Consider a collision in which particle
(with 4-momentum
) hits particle
(4momentum
, producing particles
and
. Assume the (relativistic) energy and momentum are conserved in systems
. Using the Lorentz transformations (Eq. 3.12), show that energy and momentum are also conserved in
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma colisão entre duas partículas,
e
, que se chocam e produzem duas novas partículas,
e
. No sistema de referência
, sabemos que a energia e o momento são conservados, ou seja:
Nosso objetivo é mostrar que essa conservação também vale em outro sistema de referência
, utilizando as transformações de Lorentz.
Passo 2
Para resolver isso, precisamos lembrar que as transformações de Lorentz preservam as leis da física entre diferentes sistemas de referência inerciais. Isso significa que, se a conservação de energia e momento vale em um sistema, ela também deve valer em qualquer outro sistema que se mova a uma velocidade constante em relação ao primeiro.
Passo 3
Primeiro, vamos aplicar a transformação de Lorentz aos quatro-momentos das partículas no sistema
para obter seus valores no sistema
. A transformação de Lorentz para o quatro-momento é dada por:
onde
é a matriz de transformação de Lorentz.
Passo 4
Aplicando a transformação de Lorentz a cada termo da equação de conservação no sistema
, temos:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Essa nova equação mostra que a soma dos quatro-momentos das partículas antes da colisão é igual à soma dos quatro-momentos após a colisão no sistema
. Isso significa que tanto a energia quanto o momento são conservados em
.
Resposta
Portanto, utilizando as transformações de Lorentz, demonstramos que a conservação de energia e momento válida no sistema
também é válida no sistema
.