Consider a collision in which particle A (with 4-momentum pA^mu ) hits particle B (4momentum pB^mu), producing particles C(pC^mu) and D(pD^mu). Assume the (relativistic) energy and momentum are conserved in systems S(pA^mu+pB^mu=pC^mu+pD^mu). Using the Lorentz transformations (Eq. 3.12), show that energy and momentum are also conserved in S^prime.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma colisão entre duas partículas, A e B, que se chocam e produzem duas novas partículas, C e D. No sistema de referência S, sabemos que a energia e o momento são conservados, ou seja:
pA^mu + pB^mu = pC^mu + pD^mu
Nosso objetivo é mostrar que essa conservação também vale em outro sistema de referência S^prime, utilizando as transformações de Lorentz.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos lembrar que as transformações de Lorentz preservam as leis da física entre diferentes sistemas de referência inerciais. Isso significa que, se a conservação de energia e momento vale em um sistema, ela também deve valer em qualquer outro sistema que se mova a uma velocidade constante em relação ao primeiro.

Passo 3

Primeiro, vamos aplicar a transformação de Lorentz aos quatro-momentos das partículas no sistema S para obter seus valores no sistema S^prime. A transformação de Lorentz para o quatro-momento é dada por:
p'^mu = Lambda^mu nu p^nu
onde Lambda^mu nu é a matriz de transformação de Lorentz.

Passo 4

Aplicando a transformação de Lorentz a cada termo da equação de conservação no sistema S, temos:
Lambda^mu nu pA^nu + Lambda^mu nu pB^nu = Lambda^mu nu pC^nu + Lambda^mu nu pD^nu
Isso pode ser reescrito como:
pA^prime mu + pB^prime mu = pC^prime mu + pD^prime mu

Passo 5

Essa nova equação mostra que a soma dos quatro-momentos das partículas antes da colisão é igual à soma dos quatro-momentos após a colisão no sistema S^prime. Isso significa que tanto a energia quanto o momento são conservados em S^prime.

Resposta

Portanto, utilizando as transformações de Lorentz, demonstramos que a conservação de energia e momento válida no sistema S também é válida no sistema S^prime.

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