Consider a collision in which particle (with 4-momentum ) hits particle (4momentum , producing particles and . Assume the (relativistic) energy and momentum are conserved in systems . Using the Lorentz transformations (Eq. 3.12), show that energy and momentum are also conserved in .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma colisão entre duas partículas, e , que se chocam e produzem duas novas partículas, e . No sistema de referência , sabemos que a energia e o momento são conservados, ou seja:
Nosso objetivo é mostrar que essa conservação também vale em outro sistema de referência , utilizando as transformações de Lorentz.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos lembrar que as transformações de Lorentz preservam as leis da física entre diferentes sistemas de referência inerciais. Isso significa que, se a conservação de energia e momento vale em um sistema, ela também deve valer em qualquer outro sistema que se mova a uma velocidade constante em relação ao primeiro.

Passo 3

Primeiro, vamos aplicar a transformação de Lorentz aos quatro-momentos das partículas no sistema para obter seus valores no sistema . A transformação de Lorentz para o quatro-momento é dada por:
onde é a matriz de transformação de Lorentz.

Passo 4

Aplicando a transformação de Lorentz a cada termo da equação de conservação no sistema , temos:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Essa nova equação mostra que a soma dos quatro-momentos das partículas antes da colisão é igual à soma dos quatro-momentos após a colisão no sistema . Isso significa que tanto a energia quanto o momento são conservados em .

Resposta

Portanto, utilizando as transformações de Lorentz, demonstramos que a conservação de energia e momento válida no sistema também é válida no sistema .

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