Um capacitor cilíndrico é constituído por uma casca cilíndrica de comprimento L contendo no seu interior um cilindro metálico, sendo que os eixos são coincidentes e ambos muito longos. O cilindro interno tem raio a e foi carregado com uma densidade de cargas superficial uniforme +sigma. A casca externa tem raio b e está carregada com carga igual ao negativo da carga do cilindro interno.
Qb=-Qa.
a) (0.5) Calcule a densidade de cargas da superfície externa do capacitor.
b) (0.5) Calcule o campo elétrico dentro do capacitor;
c) (1.0) Calcule a diferença de potencial elétrico entre os dois eletrodos;
d) (0.5) Calcule a capacitância do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos um capacitor cilíndrico formado por dois cilindros concêntricos: um interno com raio e carga superficial uniforme , e um externo com raio e carga igual e oposta, ou seja, . O comprimento desses cilindros é , e eles são muito longos, o que nos permite considerar campos elétricos uniformes ao longo do comprimento. Vamos precisar usar conceitos de eletricidade estática, como densidade de carga superficial, campo elétrico de cilindros carregados e fórmulas de capacitância para capacitores cilíndricos.

Passo 2

a) Calcular a densidade de cargas da superfície externa do capacitor
Primeiro, vamos entender que a densidade de carga superficial Qa = sigma cdot 2pi a L no cilindro interno é Qb = sigmab cdot 2pi b L . Como a carga total no cilindro externo é sigmab cdot 2pi b L = -sigma cdot 2pi a L , precisamos encontrar a densidade de carga sigmab = -sigma cdot ab na superfície externa.
A carga total no cilindro interno é dada por:
Já a carga total no cilindro externo é:
Sabemos que , então:
Resolvendo para :

Passo 3

b) Calcular o campo elétrico dentro do capacitor
Dentro do capacitor, ou seja, na região entre os cilindros internos e externos ( E(r) = sigmavarepsilon0 r ), o campo elétrico devido ao cilindro interno é dado por:
Aqui, é a permissividade do vácuo, e é a distância radial do eixo dos cilindros.

Passo 4

c) Calcular a diferença de potencial elétrico entre os dois eletrodos
A diferença de potencial V = integrala^b E(r) , dr = integrala^b sigmavarepsilon0 r , dr = sigmavarepsilon0 ln(ba) entre os dois cilindros pode ser encontrada integrando o campo elétrico:

Passo 5

d) Calcular a capacitância do sistema
A capacitância C = QV = sigma cdot 2pi a Lsigmavarepsilon0 ln(ba) = 2pi varepsilon0 a Lln(ba) é definida como a carga dividida pela diferença de potencial:

Resposta

a) A densidade de carga na superfície externa é .
b) O campo elétrico dentro do capacitor é .
c) A diferença de potencial entre os dois eletrodos é .
d) A capacitância do sistema é .

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