Um capacitor cilíndrico é constituído por uma casca cilíndrica de comprimento
contendo no seu interior um cilindro metálico, sendo que os eixos são coincidentes e ambos muito longos. O cilindro interno tem raio
e foi carregado com uma densidade de cargas superficial uniforme
. A casca externa tem raio
e está carregada com carga igual ao negativo da carga do cilindro interno.
.
a) (0.5) Calcule a densidade de cargas da superfície externa do capacitor.
b) (0.5) Calcule o campo elétrico dentro do capacitor;
c) (1.0) Calcule a diferença de potencial elétrico entre os dois eletrodos;
d) (0.5) Calcule a capacitância do sistema.
a) (0.5) Calcule a densidade de cargas da superfície externa do capacitor.
b) (0.5) Calcule o campo elétrico dentro do capacitor;
c) (1.0) Calcule a diferença de potencial elétrico entre os dois eletrodos;
d) (0.5) Calcule a capacitância do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos um capacitor cilíndrico formado por dois cilindros concêntricos: um interno com raio
e carga superficial uniforme
, e um externo com raio
e carga igual e oposta, ou seja,
. O comprimento desses cilindros é
, e eles são muito longos, o que nos permite considerar campos elétricos uniformes ao longo do comprimento. Vamos precisar usar conceitos de eletricidade estática, como densidade de carga superficial, campo elétrico de cilindros carregados e fórmulas de capacitância para capacitores cilíndricos.
Passo 2
a) Calcular a densidade de cargas da superfície externa do capacitor
Primeiro, vamos entender que a densidade de carga superficial
no cilindro interno é
. Como a carga total no cilindro externo é
, precisamos encontrar a densidade de carga
na superfície externa.
A carga total no cilindro interno é dada por:
Já a carga total no cilindro externo é:
Sabemos que
, então:
Resolvendo para
:
Passo 3
b) Calcular o campo elétrico dentro do capacitor
Dentro do capacitor, ou seja, na região entre os cilindros internos e externos (
), o campo elétrico devido ao cilindro interno é dado por:
Aqui,
é a permissividade do vácuo, e
é a distância radial do eixo dos cilindros.
Passo 4
c) Calcular a diferença de potencial elétrico entre os dois eletrodos
A diferença de potencial
entre os dois cilindros pode ser encontrada integrando o campo elétrico:
Passo 5
d) Calcular a capacitância do sistema
A capacitância
é definida como a carga dividida pela diferença de potencial:
Resposta
a) A densidade de carga na superfície externa é
.
b) O campo elétrico dentro do capacitor é
.
c) A diferença de potencial entre os dois eletrodos é
.
d) A capacitância do sistema é
.