Considere um campo elétrico no vácuo dado por:
E(x, t)=E0 e^x / x0-k t y
Sabendo que todos os campos variam no tempo da forma e^-k t, encontre as expressões para o campo magnético B(x, t) e para a constante k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um campo elétrico no vácuo dado por:
E(x, t) = E0 e^x / x0 - k t y
A questão nos diz que todos os campos variam no tempo da forma e^-k t. Precisamos encontrar a expressão para o campo magnético B(x, t) e determinar a constante k. Para resolver isso, vamos usar as equações de Maxwell para encontrar a relação entre os campos elétrico e magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, no vácuo, as equações de Maxwell nos dizem como os campos elétrico e magnético estão relacionados. Uma das equações importantes para ondas eletromagnéticas é a Lei de Faraday, que relaciona a variação do campo elétrico com o campo magnético. A fórmula da Lei de Faraday é:
nabla times E = -partial Bpartial t
Isso significa que o rotacional do campo elétrico é igual à variação negativa do campo magnético em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional do campo elétrico nabla times E. Como E tem apenas uma componente em y que depende de x e t, a expressão do rotacional em coordenadas cartesianas simplifica para:
nabla times E = ( partial Eypartial x ) z
Então, derivando Ey = E0 e^x / x0 - k t em relação a x, temos:
partial Eypartial x = E0x0 e^x / x0 - k t
Portanto,
nabla times E = E0x0 e^x / x0 - k t z

Passo 4

Agora, segundo a Lei de Faraday:
nabla times E = -partial Bpartial t
Substituindo o que encontramos:
E0x0 e^x / x0 - k t z = -partial Bpartial t
Isso nos dá uma equação diferencial para B em termos de t.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo para encontrar B(x, t). Integrando:
B(x, t) = -integral E0x0 e^x / x0 - k t z , dt + C(x)
Onde C(x) é a constante de integração que depende de x. No entanto, para ondas eletromagnéticas que se propagam no tempo, geralmente assumimos que B tende a zero quando t infty, então C(x) = 0.
Integrando a exponencial:
B(x, t) = E0x0 k e^x / x0 - k t z

Passo 6

Agora temos a expressão para o campo magnético:
B(x, t) = E0x0 k e^x / x0 - k t z
Para encontrar a constante k, vamos usar outra das equações de Maxwell que relaciona a variação temporal do campo magnético com o rotacional do campo elétrico. Especificamente, a equação de Ampère-Maxwell:
nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t

Passo 7

Vamos calcular o rotacional do campo magnético nabla times B. Como B tem apenas uma componente em z que depende de x e t, o rotacional em coordenadas cartesianas simplifica para:
nabla times B = -partial Bzpartial x y
Derivando Bz = E0x0 k e^x / x0 - k t em relação a x, temos:
partial Bzpartial x = E0x0^2 k e^x / x0 - k t
Portanto,
nabla times B = -E0x0^2 k e^x / x0 - k t y

Passo 8

Agora, pela equação de Ampère-Maxwell:
nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t
Vamos calcular partial Epartial t:
partial Epartial t = -k E0 e^x / x0 - k t y
Substituindo na equação:
-E0x0^2 k e^x / x0 - k t y = mu0 epsilon0 (-k E0 e^x / x0 - k t y)
Simplificando os sinais:
E0x0^2 k e^x / x0 - k t = mu0 epsilon0 k E0 e^x / x0 - k t

Passo 9

Agora, podemos cancelar termos comuns como E0 e^x / x0 - k t dos dois lados:
1x0^2 k = mu0 epsilon0 k
Queremos encontrar k, então vamos resolver para ele:
1x0^2 k = mu0 epsilon0 k Rightarrow 1x0^2 = mu0 epsilon0 k^2 Rightarrow k^2 = 1mu0 epsilon0 x0^2 Rightarrow k = 1x0 raizmu0 epsilon0

Resposta

O campo magnético é dado por:
B(x, t) = E0x0 k e^x / x0 - k t z
E a constante k é:
k = 1x0 raizmu0 epsilon0

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