Considere um campo elétrico no vácuo dado por:
Sabendo que todos os campos variam no tempo da forma , encontre as expressões para o campo magnético e para a constante .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um campo elétrico no vácuo dado por:
A questão nos diz que todos os campos variam no tempo da forma . Precisamos encontrar a expressão para o campo magnético e determinar a constante . Para resolver isso, vamos usar as equações de Maxwell para encontrar a relação entre os campos elétrico e magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, no vácuo, as equações de Maxwell nos dizem como os campos elétrico e magnético estão relacionados. Uma das equações importantes para ondas eletromagnéticas é a Lei de Faraday, que relaciona a variação do campo elétrico com o campo magnético. A fórmula da Lei de Faraday é:
Isso significa que o rotacional do campo elétrico é igual à variação negativa do campo magnético em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional do campo elétrico . Como tem apenas uma componente em que depende de e , a expressão do rotacional em coordenadas cartesianas simplifica para:
Então, derivando em relação a , temos:
Portanto,

Passo 4

Agora, segundo a Lei de Faraday:
Substituindo o que encontramos:
Isso nos dá uma equação diferencial para em termos de .

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo para encontrar . Integrando:
Onde é a constante de integração que depende de . No entanto, para ondas eletromagnéticas que se propagam no tempo, geralmente assumimos que tende a zero quando , então .
Integrando a exponencial:

Passo 6

Agora temos a expressão para o campo magnético:
Para encontrar a constante , vamos usar outra das equações de Maxwell que relaciona a variação temporal do campo magnético com o rotacional do campo elétrico. Especificamente, a equação de Ampère-Maxwell:

Passo 7

Vamos calcular o rotacional do campo magnético . Como tem apenas uma componente em que depende de e , o rotacional em coordenadas cartesianas simplifica para:
Derivando em relação a , temos:
Portanto,

Passo 8

Agora, pela equação de Ampère-Maxwell:
Vamos calcular :
Substituindo na equação:
Simplificando os sinais:

Passo 9

Agora, podemos cancelar termos comuns como dos dois lados:
Queremos encontrar , então vamos resolver para ele:

Resposta

O campo magnético é dado por:
E a constante é:

Exercícios relacionados

O campo elétrico de uma onda eletromagnética plana se propagando no vácuo é descrito, em unidades SI, pela equação:
a) Determinar o comprimento de onda, , e a freqüência, , da onda.
b) Determinar o campo magnético da onda.
c) Determinar o vetor de Poynting, S.
Um capacitor cilíndrico é constituído por uma casca cilíndrica de comprimento contendo no seu interior um cilindro metálico, sendo que os eixos são coincidentes e ambos muito longos. O cilindro interno tem raio e foi carregado com uma densidade de cargas superficial uniforme . A casca externa tem raio e está carregada com carga igual ao negativo da carga do cilindro interno.
.
a) (0.5) Calcule a densidade de cargas da superfície externa do capacitor.
b) (0.5) Calcule o campo elétrico dentro do capacitor;
c) (1.0) Calcule a diferença de potencial elétrico entre os dois eletrodos;
d) (0.5) Calcule a capacitância do sistema.
Uma carga de está no centro de um cubo cuja aresta tem . (a) Encontre o fluxo através de cada uma das faces do cubo. (b) Encontre o fluxo através de toda a superfície do cubo. © Suas respostas aos ítens (a) ou (b) mudariam se a carga não estivesse no centro? Explique.
A diferença de potencial entre as placas aceleradoras do canhão de elétrons do tubo de um aparelho de televisão é cerca de 25 kV. (a) Calcule a velocidade dos elétrons do feixe depois de acelerados. (b) Se a distância entre as placas é de , encontre a magnitude do campo elétrico uniforme entre as placas.