Considere um campo elétrico no vácuo dado por:
Sabendo que todos os campos variam no tempo da forma
, encontre as expressões para o campo magnético
e para a constante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um campo elétrico no vácuo dado por:
A questão nos diz que todos os campos variam no tempo da forma
. Precisamos encontrar a expressão para o campo magnético
e determinar a constante
. Para resolver isso, vamos usar as equações de Maxwell para encontrar a relação entre os campos elétrico e magnético.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, no vácuo, as equações de Maxwell nos dizem como os campos elétrico e magnético estão relacionados. Uma das equações importantes para ondas eletromagnéticas é a Lei de Faraday, que relaciona a variação do campo elétrico com o campo magnético. A fórmula da Lei de Faraday é:
Isso significa que o rotacional do campo elétrico é igual à variação negativa do campo magnético em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional do campo elétrico
. Como
tem apenas uma componente em
que depende de
e
, a expressão do rotacional em coordenadas cartesianas simplifica para:
Então, derivando
em relação a
, temos:
Portanto,
Passo 4
Agora, segundo a Lei de Faraday:
Substituindo o que encontramos:
Isso nos dá uma equação diferencial para
em termos de
.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo para encontrar
. Integrando:
Onde
é a constante de integração que depende de
. No entanto, para ondas eletromagnéticas que se propagam no tempo, geralmente assumimos que
tende a zero quando
, então
.
Integrando a exponencial:
Passo 6
Agora temos a expressão para o campo magnético:
Para encontrar a constante
, vamos usar outra das equações de Maxwell que relaciona a variação temporal do campo magnético com o rotacional do campo elétrico. Especificamente, a equação de Ampère-Maxwell:
Passo 7
Vamos calcular o rotacional do campo magnético
. Como
tem apenas uma componente em
que depende de
e
, o rotacional em coordenadas cartesianas simplifica para:
Derivando
em relação a
, temos:
Portanto,
Passo 8
Agora, pela equação de Ampère-Maxwell:
Vamos calcular
:
Substituindo na equação:
Simplificando os sinais:
Passo 9
Agora, podemos cancelar termos comuns como
dos dois lados:
Queremos encontrar
, então vamos resolver para ele:
Resposta
O campo magnético é dado por:
E a constante
é: