Um capacitor cilíndrico imerso no ar possui comprimento igual a 15,0 cm e armazena uma energia igual a 3,20 times 10^-9 J quando a diferença de potencial entre os condutores é igual a 4,00 V. Calcule: (a) o módulo da carga acumulada em cada condutor; (b) a capacitância; © a razão entre o raio do condutor externo e o raio do condutor interno. Admita que o raio externo é muito menor que o comprimento do capacitor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um capacitor cilíndrico imerso no ar com algumas medidas dadas. A matéria envolvida aqui é capacitância de capacitores cilíndricos. Para resolver as perguntas, vamos precisar usar fórmulas que relacionam energia armazenada, diferença de potencial, carga e capacitância de um capacitor cilíndrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre energia, carga e potencial. A energia armazenada U = 12 Q V em um capacitor é dada por:
Q = 2UV
Onde:
  • é a energia armazenada,
  • é a carga acumulada,
  • é a diferença de potencial.
Queremos achar o módulo da carga . Vamos isolar na equação:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores dados no enunciado:
U = 3,20 times 10^-9 , J
V = 4,00 , V
Substituindo na fórmula:
Q = 2 times 3,20 times 10^-94,00 = 6,40 times 10^-94,00 = 1,60 times 10^-9 , C

Passo 4

Próximo, vamos calcular a capacitância C = QV . A capacitância está relacionada com a carga e a diferença de potencial pela fórmula:
C = 1,60 times 10^-94,00 = 4,00 times 10^-10 , F
Usando os valores que já encontramos:

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar a razão entre os raios dos condutores externo ( C = 2 pi varepsilon0 Lln(ba) ) e interno ( ln(ba) = 2 pi varepsilon0 LC ). A capacitância de um capacitor cilíndrico é dada por:
L = 15,0 , cm = 0,15 , m
Onde:
  • C = 4,00 times 10^-10 , F é a permissividade do vácuo ( ln(ba) = 2 pi times 8,85 times 10^-12 times 0,154,00 times 10^-10 approx 8,37 times 10^-124,00 times 10^-10 approx 0,209 ),
  • ba = e^0,209 approx 1,23 é o comprimento do capacitor,
  • representa o logaritmo natural.
Queremos achar . Vamos isolar :
Substituindo os valores:
Agora, para achar , aplicamos a função exponencial:

Resposta

(a) A carga acumulada em cada condutor é .
(b) A capacitância do capacitor é .
© A razão entre o raio do condutor externo e o raio do condutor interno é aproximadamente .

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