Um capacitor cilíndrico imerso no ar possui comprimento igual a
e armazena uma energia igual a
quando a diferença de potencial entre os condutores é igual a
. Calcule: (a) o módulo da carga acumulada em cada condutor; (b) a capacitância; © a razão entre o raio do condutor externo e o raio do condutor interno. Admita que o raio externo é muito menor que o comprimento do capacitor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um capacitor cilíndrico imerso no ar com algumas medidas dadas. A matéria envolvida aqui é capacitância de capacitores cilíndricos. Para resolver as perguntas, vamos precisar usar fórmulas que relacionam energia armazenada, diferença de potencial, carga e capacitância de um capacitor cilíndrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre energia, carga e potencial. A energia armazenada
em um capacitor é dada por:
Onde:
-
é a energia armazenada, -
é a carga acumulada, -
é a diferença de potencial.
Queremos achar o módulo da carga
. Vamos isolar
na equação:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores dados no enunciado:
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Próximo, vamos calcular a capacitância
. A capacitância está relacionada com a carga e a diferença de potencial pela fórmula:
Usando os valores que já encontramos:
Passo 5
Finalmente, vamos encontrar a razão entre os raios dos condutores externo (
) e interno (
). A capacitância de um capacitor cilíndrico é dada por:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo ( ), -
é o comprimento do capacitor, -
representa o logaritmo natural.
Queremos achar
. Vamos isolar
:
Substituindo os valores:
Agora, para achar
, aplicamos a função exponencial:
Resposta
(a) A carga acumulada em cada condutor é
.
(b) A capacitância do capacitor é
.
© A razão entre o raio do condutor externo e o raio do condutor interno é aproximadamente
.