O cilindro interno de um capacitor cilíndrico possui raio a e uma densidade linear de carga +lambda. Ele é circundado por um tubo condutor cilíndrico, coaxial, com raio interno b, carregado com uma densidade linear de carga -lambda. Calcule: (a) a densidade de energia do campo elétrico na região entre os condutores (a; (b) a energia total armazenada no campo elétrico por unidade de comprimento. © Use a expressão U=Q^2 / 2 C e a capacitância por unidade de comprimento do capacitor cilíndrico para calcular novamente a energia armazenda por unidade de comprimento.

Passo 1

Então, temos um capacitor cilíndrico com um cilindro interno de raio carregado com uma densidade linear de carga e um cilindro externo de raio com densidade linear de carga . Vamos trabalhar com eletrostática para calcular a densidade de energia do campo elétrico na região entre os cilindros ( ), a energia total armazenada por unidade de comprimento e, por fim, verificar essa energia usando a capacitância do capacitor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico na região oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 . Para isso, usamos a Lei de Gauss. Imagine uma superfície gaussiana cilíndrica de raio E(2pi r L) = lambda Lvarepsilon0 e comprimento E(r) = lambda2pi varepsilon0 r , onde .
A Lei de Gauss nos diz que:
Como o campo elétrico é radial e constante ao longo da superfície gaussiana, temos:
Simplificando, o campo elétrico é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a densidade de energia do campo elétrico na região u = 12 varepsilon0 E^2 . A densidade de energia u(r) = 12 varepsilon0 ( lambda2pi varepsilon0 r )^2 = lambda^28pi^2 varepsilon0 r^2 é dada por:
Substituindo o valor de :

Passo 4

Para encontrar a energia total armazenada no campo elétrico por unidade de comprimento, integramos a densidade de energia ao longo da região entre os cilindros:
U = integrala^b u(r) cdot 2pi r , dr = integrala^b lambda^28pi^2 varepsilon0 r^2 cdot 2pi r , dr = lambda^24pi varepsilon0 integrala^b 1r , dr
Integrando:
U = lambda^24pi varepsilon0 ln( ba )

Passo 5

Finalmente, usando a expressão C = 2pi varepsilon0ln(b/a) , onde U = (lambda)^22 cdot 2pi varepsilon0ln(b/a) = lambda^2 ln(b/a)4pi varepsilon0 e é a capacitância por unidade de comprimento, igual a:
Substituindo na fórmula de energia:
Isso confirma a energia que calculamos anteriormente.

Resposta

A densidade de energia do campo elétrico na região é . A energia total armazenada por unidade de comprimento é . Usando a capacitância, confirmamos que a energia armazenada por unidade de comprimento também é .

Exercícios relacionados