O cilindro interno de um capacitor cilíndrico possui raio
e uma densidade linear de carga
. Ele é circundado por um tubo condutor cilíndrico, coaxial, com raio interno
, carregado com uma densidade linear de carga
. Calcule: (a) a densidade de energia do campo elétrico na região entre os condutores
; (b) a energia total armazenada no campo elétrico por unidade de comprimento. © Use a expressão
e a capacitância por unidade de comprimento do capacitor cilíndrico para calcular novamente a energia armazenda por unidade de comprimento.
Passo 1
Então, temos um capacitor cilíndrico com um cilindro interno de raio
carregado com uma densidade linear de carga
e um cilindro externo de raio
com densidade linear de carga
. Vamos trabalhar com eletrostática para calcular a densidade de energia do campo elétrico na região entre os cilindros (
), a energia total armazenada por unidade de comprimento e, por fim, verificar essa energia usando a capacitância do capacitor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico na região
. Para isso, usamos a Lei de Gauss. Imagine uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento
, onde
.
A Lei de Gauss nos diz que:
Como o campo elétrico é radial e constante ao longo da superfície gaussiana, temos:
Simplificando, o campo elétrico é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a densidade de energia do campo elétrico na região
. A densidade de energia
é dada por:
Substituindo o valor de
:
Passo 4
Para encontrar a energia total armazenada no campo elétrico por unidade de comprimento, integramos a densidade de energia ao longo da região entre os cilindros:
Integrando:
Passo 5
Finalmente, usando a expressão
, onde
e
é a capacitância por unidade de comprimento, igual a:
Substituindo na fórmula de energia:
Isso confirma a energia que calculamos anteriormente.
Resposta
A densidade de energia do campo elétrico na região
é
. A energia total armazenada por unidade de comprimento é
. Usando a capacitância, confirmamos que a energia armazenada por unidade de comprimento também é
.
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