O cilindro interno de um capacitor cilíndrico possui raio e uma densidade linear de carga . Ele é circundado por um tubo condutor cilíndrico, coaxial, com raio interno , carregado com uma densidade linear de carga . Calcule: (a) a densidade de energia do campo elétrico na região entre os condutores ; (b) a energia total armazenada no campo elétrico por unidade de comprimento. © Use a expressão e a capacitância por unidade de comprimento do capacitor cilíndrico para calcular novamente a energia armazenda por unidade de comprimento.

Passo 1

Então, temos um capacitor cilíndrico com um cilindro interno de raio carregado com uma densidade linear de carga e um cilindro externo de raio com densidade linear de carga . Vamos trabalhar com eletrostática para calcular a densidade de energia do campo elétrico na região entre os cilindros ( ), a energia total armazenada por unidade de comprimento e, por fim, verificar essa energia usando a capacitância do capacitor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico na região . Para isso, usamos a Lei de Gauss. Imagine uma superfície gaussiana cilíndrica de raio e comprimento , onde .
A Lei de Gauss nos diz que:
Como o campo elétrico é radial e constante ao longo da superfície gaussiana, temos:
Simplificando, o campo elétrico é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a densidade de energia do campo elétrico na região . A densidade de energia é dada por:
Substituindo o valor de :

Passo 4

Para encontrar a energia total armazenada no campo elétrico por unidade de comprimento, integramos a densidade de energia ao longo da região entre os cilindros:
Integrando:

Passo 5

Finalmente, usando a expressão , onde e é a capacitância por unidade de comprimento, igual a:
Substituindo na fórmula de energia:
Isso confirma a energia que calculamos anteriormente.

Resposta

A densidade de energia do campo elétrico na região é . A energia total armazenada por unidade de comprimento é . Usando a capacitância, confirmamos que a energia armazenada por unidade de comprimento também é .

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