Um cilindro condutor longo de comprimento
, portando uma carga
, é circundado por uma casca condutora cilíndrica concêntrica de carga -
. Usando a lei de Gauss, calcule: (a) a intensidade de
fora da casca (b) a distribuição de cargas na casca condutora e © a intensidade de
na região entre os dois cilindros.
Resp.
para dentro (b)
fora e
dentro ©
para fora
Resp.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata da Lei de Gauss e envolve calcular o campo elétrico em diferentes regiões ao redor de cilindros condutores carregados. Precisamos entender como a carga está distribuída e aplicar a simetria cilíndrica para encontrar a intensidade do campo elétrico nas áreas solicitadas.
Passo 2
(a) Intensidade de
fora da casca
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico fora da casca cilíndrica. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total encerrada dividida por
:
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
(onde
, sendo
o raio da casca) e comprimento
. Devido à simetria, o campo
é radial e constante em magnitude ao longo da superfície:
Isolando
:
Passo 3
(b) Distribuição de cargas na casca condutora
Em condutores em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico interno �� zero. Isso significa que a carga na casca deve se distribuir de forma que neutralize o campo interno. Temos uma carga total de
na casca.
Para que o campo dentro do condutor seja zero, a carga
se divide em duas partes:
- Carga interna (
): igual e oposta à carga do cilindro central, ou seja, . - Carga externa (
): o restante da carga, que será .
Então, a distribuição de cargas na casca é:
-
na superfície interna. -
na superfície externa.
Passo 4
© Intensidade de
na região entre os dois cilindros
Agora, vamos calcular o campo elétrico na região entre o cilindro central e a casca. Usamos novamente a Lei de Gauss com uma superfície gaussiana de raio
tal que
(onde
é o raio do cilindro central e
o da casca).
A única carga encerrada é a do cilindro central
:
Isolando
:
Resposta
(a) A intensidade do campo elétrico fora da casca é
(b) A distribuição de cargas na casca condutora é
na superfície interna e
na superfície externa.
© A intensidade do campo elétrico na região entre os dois cilindros é
Exercícios relacionados
Distribuição esférica de cargas. Seja uma esfera isolante de raio
com uma densidade volumétrica de carga uniforme
(medida em
). Utilize a lei de Gauss para encontrar o campo
nos pontos: (a)
e (b)
. Resp. (a)
e (b)
Por gentileza, obtenha uma expressão para a diferença de potencial entre os pontos
e
na vizinhança de um fio infinito.
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e armazena uma energia igual a
quando a diferença de potencial entre os condutores é igual a
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e a distância entre as superfícies esféricas é igual a
. O módulo da carga de cada esfera é igual a 3,30 nC. Calcule: (a) a capacitância; (b) a diferença de potencial entre as cascas esféricas; © a energia armazenada no campo elétrico do capacitor.