Distribuição esférica de cargas. Seja uma esfera isolante de raio a com uma densidade volumétrica de carga uniforme rho (medida em C / m^3 ). Utilize a lei de Gauss para encontrar o campo E nos pontos: (a) r>a e (b) r. Resp. (a) E=(rho a^3 / 3 varepsilon0 r^2) r e (b) E=rho r / 3 varepsilon0

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre distribuição esférica de cargas. Temos uma esfera isolante com raio e densidade volumétrica de carga uniforme ( ). Usaremos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em dois casos: quando o ponto está fora da esfera ( ) e quando está dentro da esfera ( ). Para isso, precisamos entender como aplicar a Lei de Gauss e como a simetria esférica facilita nossos cálculos.

Passo 2

Entendendo a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico que passa por uma superfície fechada com a carga elétrica total dentro dessa superfície. A fórmula é:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
onde:
  • é o campo elétrico,
  • é um elemento de área da superfície fechada,
  • é a carga total dentro da superfície,
  • é a constante de permissividade do vácuo.
Simetria Esférica:
Como a distribuição de carga é uniforme e simétrica, o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos a uma distância do centro e será radial (apontando para fora ou para dentro). Isso simplifica o cálculo do fluxo elétrico.

Passo 3

Caso (a): Qinterno = rho cdot 43pi a^3 (ponto fora da esfera)
  1. Escolha da Superfície Gaussiana:
    • Selecionamos uma superfície esférica de raio oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2 maior que E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi a^3varepsilon0 , centrada na mesma esfera carregada.
  2. Calculando a Carga Interna E = rho a^33varepsilon0 r^2 :
    • Toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana: E = ( rho a^33 varepsilon0 r^2 ) r
  3. Calculando o Fluxo Elétrico:
    • Devido à simetria, é constante em magnitude sobre a superfície gaussiana e paralelo a :
  4. Aplicando a Lei de Gauss:
Resultado:

Passo 4

Caso (b): Qinterno = rho cdot 43pi r^3 (ponto dentro da esfera)
  1. Escolha da Superfície Gaussiana:
    • Agora, selecionamos uma superfície esférica de raio oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2 menor que E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi r^3varepsilon0 , também centrada na esfera carregada.
  2. Calculando a Carga Interna E = rho r3varepsilon0 :
    • Apenas a carga dentro do raio E = rho r3 varepsilon0 contribui:
  3. Calculando o Fluxo Elétrico:
    • Novamente, devido à simetria:
  4. Aplicando a Lei de Gauss:
Resultado:

Resposta

(a) Para E = ( rho a^33 varepsilon0 r^2 ) r :
E = rho r3 varepsilon0
(b) Para :

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