Distribuição esférica de cargas. Seja uma esfera isolante de raio
com uma densidade volumétrica de carga uniforme
(medida em
). Utilize a lei de Gauss para encontrar o campo
nos pontos: (a)
e (b)
. Resp. (a)
e (b)
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre distribuição esférica de cargas. Temos uma esfera isolante com raio
e densidade volumétrica de carga uniforme
(
). Usaremos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
em dois casos: quando o ponto está fora da esfera (
) e quando está dentro da esfera (
). Para isso, precisamos entender como aplicar a Lei de Gauss e como a simetria esférica facilita nossos cálculos.
Passo 2
Entendendo a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico que passa por uma superfície fechada com a carga elétrica total dentro dessa superfície. A fórmula é:
A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico que passa por uma superfície fechada com a carga elétrica total dentro dessa superfície. A fórmula é:
onde:
-
é o campo elétrico, -
é um elemento de área da superfície fechada, -
é a carga total dentro da superfície, -
é a constante de permissividade do vácuo.
Simetria Esférica:
Como a distribuição de carga é uniforme e simétrica, o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos a uma distância
do centro e será radial (apontando para fora ou para dentro). Isso simplifica o cálculo do fluxo elétrico.
Como a distribuição de carga é uniforme e simétrica, o campo elétrico
Passo 3
Caso (a):
(ponto fora da esfera)
-
Escolha da Superfície Gaussiana:
- Selecionamos uma superfície esférica de raio
maior que , centrada na mesma esfera carregada.
- Selecionamos uma superfície esférica de raio
-
Calculando a Carga Interna
: - Toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana:
- Toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana:
-
Calculando o Fluxo Elétrico:
- Devido à simetria,
é constante em magnitude sobre a superfície gaussiana e paralelo a :
- Devido à simetria,
-
Aplicando a Lei de Gauss:
Resultado:
Passo 4
Caso (b):
(ponto dentro da esfera)
-
Escolha da Superfície Gaussiana:
- Agora, selecionamos uma superfície esférica de raio
menor que , também centrada na esfera carregada.
- Agora, selecionamos uma superfície esférica de raio
-
Calculando a Carga Interna
: - Apenas a carga dentro do raio
contribui:
- Apenas a carga dentro do raio
-
Calculando o Fluxo Elétrico:
- Novamente, devido à simetria:
- Novamente, devido à simetria:
-
Aplicando a Lei de Gauss:
Resultado:
Resposta
(a) Para
:
(b) Para
:
Exercícios relacionados
Por gentileza, obtenha uma expressão para a diferença de potencial entre os pontos
e
na vizinhança de um fio infinito.
Uma forma de controlar o crescimento de NPs, tornando-as estáveis mesmo que pequenas, baseia-se em envolver as NPs com uma camada estabilizante (formada, em geral, por surfactantes orgânicos). Imagine uma terceira NP (chame-a de NP3). Considere que NP3 tem mesma carga e raio de NP1, mas está envolta por uma camada isolante, com constante dielétrica
e neutra de espessura
(mesma distância da questão anterior!). Por favor, calcule potencial elétrico e o módulo do campo elétrico a uma distância
do centro da NP3.
Um cilindro condutor longo de comprimento
, portando uma carga
, é circundado por uma casca condutora cilíndrica concêntrica de carga -
. Usando a lei de Gauss, calcule: (a) a intensidade de
fora da casca (b) a distribuição de cargas na casca condutora e © a intensidade de
na região entre os dois cilindros.
Resp. para dentro (b)
fora e
dentro ©
para fora
Resp.
Um capacitor cilíndrico imerso no ar possui comprimento igual a
e armazena uma energia igual a
quando a diferença de potencial entre os condutores é igual a
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