Distribuição esférica de cargas. Seja uma esfera isolante de raio
com uma densidade volumétrica de carga uniforme
(medida em
). Utilize a lei de Gauss para encontrar o campo
nos pontos: (a)
e (b)
. Resp. (a)
e (b)
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre distribuição esférica de cargas. Temos uma esfera isolante com raio
e densidade volumétrica de carga uniforme
(
). Usaremos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
em dois casos: quando o ponto está fora da esfera (
) e quando está dentro da esfera (
). Para isso, precisamos entender como aplicar a Lei de Gauss e como a simetria esférica facilita nossos cálculos.
Passo 2
Entendendo a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico que passa por uma superfície fechada com a carga elétrica total dentro dessa superfície. A fórmula é:
A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico que passa por uma superfície fechada com a carga elétrica total dentro dessa superfície. A fórmula é:
onde:
-
é o campo elétrico, -
é um elemento de área da superfície fechada, -
é a carga total dentro da superfície, -
é a constante de permissividade do vácuo.
Simetria Esférica:
Como a distribuição de carga é uniforme e simétrica, o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos a uma distância
do centro e será radial (apontando para fora ou para dentro). Isso simplifica o cálculo do fluxo elétrico.
Como a distribuição de carga é uniforme e simétrica, o campo elétrico
Passo 3
Caso (a):
(ponto fora da esfera)
-
Escolha da Superfície Gaussiana:
- Selecionamos uma superfície esférica de raio
maior que , centrada na mesma esfera carregada.
- Selecionamos uma superfície esférica de raio
-
Calculando a Carga Interna
: - Toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana:
- Toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana:
-
Calculando o Fluxo Elétrico:
- Devido à simetria,
é constante em magnitude sobre a superfície gaussiana e paralelo a :
- Devido à simetria,
-
Aplicando a Lei de Gauss:
Resultado:
Passo 4
Caso (b):
(ponto dentro da esfera)
-
Escolha da Superfície Gaussiana:
- Agora, selecionamos uma superfície esférica de raio
menor que , também centrada na esfera carregada.
- Agora, selecionamos uma superfície esférica de raio
-
Calculando a Carga Interna
: - Apenas a carga dentro do raio
contribui:
- Apenas a carga dentro do raio
-
Calculando o Fluxo Elétrico:
- Novamente, devido à simetria:
- Novamente, devido à simetria:
-
Aplicando a Lei de Gauss:
Resultado:
Resposta
(a) Para
:
(b) Para
: