Distribuição esférica de cargas. Seja uma esfera isolante de raio com uma densidade volumétrica de carga uniforme (medida em ). Utilize a lei de Gauss para encontrar o campo nos pontos: (a) e (b) . Resp. (a) e (b)

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre distribuição esférica de cargas. Temos uma esfera isolante com raio e densidade volumétrica de carga uniforme ( ). Usaremos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em dois casos: quando o ponto está fora da esfera ( ) e quando está dentro da esfera ( ). Para isso, precisamos entender como aplicar a Lei de Gauss e como a simetria esférica facilita nossos cálculos.

Passo 2

Entendendo a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico que passa por uma superfície fechada com a carga elétrica total dentro dessa superfície. A fórmula é:
onde:
  • é o campo elétrico,
  • é um elemento de área da superfície fechada,
  • é a carga total dentro da superfície,
  • é a constante de permissividade do vácuo.
Simetria Esférica:
Como a distribuição de carga é uniforme e simétrica, o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos a uma distância do centro e será radial (apontando para fora ou para dentro). Isso simplifica o cálculo do fluxo elétrico.

Passo 3

Caso (a): (ponto fora da esfera)
  1. Escolha da Superfície Gaussiana:
    • Selecionamos uma superfície esférica de raio maior que , centrada na mesma esfera carregada.
  2. Calculando a Carga Interna :
    • Toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana:
  3. Calculando o Fluxo Elétrico:
    • Devido à simetria, é constante em magnitude sobre a superfície gaussiana e paralelo a :
  4. Aplicando a Lei de Gauss:
Resultado:

Passo 4

Caso (b): (ponto dentro da esfera)
  1. Escolha da Superfície Gaussiana:
    • Agora, selecionamos uma superfície esférica de raio menor que , também centrada na esfera carregada.
  2. Calculando a Carga Interna :
    • Apenas a carga dentro do raio contribui:
  3. Calculando o Fluxo Elétrico:
    • Novamente, devido à simetria:
  4. Aplicando a Lei de Gauss:
Resultado:

Resposta

(a) Para :
(b) Para :

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