Um capacitor é construído de dois cilindros concêntricos muito finos de raios a e b ( b>a ) tendo um comprimento L gg b. Uma carga de +Q está no cilindro interno e uma carga de -Q no cilindro externo. A região entre os dois cilindros é preenchido com um dielétrico tendo uma constante dielétrica varepsilonr. (a) Encontre a diferença de potencial entre os cilindros. (b) Encontre a densidade da carga livre sigmaf no cilindro interno e o cilindro externo. © Encontre a densidade de carga ligada sigmab formada na superfície cilíndrica interna e na superficie externa do dielétrico. (d) Encontre a total energia eletrostática armazenada no capacitor. (e) Qual o trabalho mecânico necessário para remover sem atrito o dielétrico do interior do capacitor?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de um capacitor cilíndrico, que consiste em dois cilindros concêntricos com raios e ( ), separados por uma distância preenchida por um material dielétrico com constante dielétrica . Temos uma carga no cilindro interno e no externo. Precisamos resolver várias partes:
a) Encontrar a diferença de potencial entre os cilindros.
b) Determinar a densidade de carga livre nos cilindros internos e externos.
c) Calcular a densidade de carga ligada nas superfícies do dielétrico.
d) Encontrar a energia eletrostática total armazenada no capacitor.
e) Calcular o trabalho mecânico necessário para remover o dielétrico do capacitor.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico em geometria cilíndrica, Lei de Gauss, capacitores com dielétrico, densidade de carga e energia armazenada em um capacitor.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): Encontrar a diferença de potencial entre os cilindros.
Primeiro, precisamos calcular o campo elétrico entre os cilindros. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico em situações de simetria.
Considerando um cilindro de raio oint E cdot dA = Qencvarepsilon onde E cdot 2pi r L = Qvarepsilon0 varepsilonr e comprimento E = Q2pi varepsilon0 varepsilonr r L , aplicamos a Lei de Gauss:
Aqui, e , onde é a permissividade do vácuo.
A área superficial do cilindro gaussiano é , e o campo elétrico é radial e constante em magnitude na superfície.
Então,
Resolvendo para :

Passo 3

Agora que temos o campo elétrico V = -integrala^b E(r) , dr , podemos encontrar a diferença de potencial V = -integrala^b Q2pi varepsilon0 varepsilonr r L , dr entre os cilindros interno e externo.
A diferença de potencial é dada pela integral do campo elétrico:
V = -Q2pi varepsilon0 varepsilonr L ln( ba )
Substituindo V = Q2pi varepsilon0 varepsilonr L ln( ba ) :
Integrando:
Como a diferença de potencial é definida como , que no caso é positivo, podemos retirar o sinal negativo:

Passo 4

Vamos para a parte b): Encontrar a densidade de carga livre A = 2pi r L nos cilindros interno e externo.
A densidade de carga livre sigmaf,interno = Q2pi a L é a carga por unidade de área na superfície dos cilindros.
A área superficial de cada cilindro é:
sigmaf,externo = -Q2pi b L
Para o cilindro interno ( ):
Para o cilindro externo ( ):
Aqui, a carga no cilindro externo é .

Passo 5

Passando para a parte c): Encontrar a densidade de carga ligada sigmab = P cdot n na superfície interna e externa do dielétrico.
A densidade de carga ligada está relacionada à polarização do dielétrico. Para um material dielétrico linear, a densidade de carga ligada superficial P = chie varepsilon0 E é dada por:
varepsilonr = 1 + chie
Onde sigmab = varepsilon0 (varepsilonr - 1) E é a polarização e sigmab = varepsilon0 (varepsilonr - 1) cdot Q2pi varepsilon0 varepsilonr r L = Q (varepsilonr - 1)2pi varepsilonr r L é o vetor normal à superfície.
Sabemos que a polarização sigmab,interno = Q (varepsilonr - 1)2pi varepsilonr a L está relacionada ao campo elétrico sigmab,externo = -Q (varepsilonr - 1)2pi varepsilonr b L e à constante dielétrica e :
Onde é a suscetibilidade elétrica do material. Mas também sabemos que:
Para simplificar, podemos usar a relação:
Substituindo obtido anteriormente:
Para o cilindro interno ( ):
E para o cilindro externo ( ):

Passo 6

Vamos para a parte d): Encontrar a energia eletrostática total armazenada no capacitor.
A energia armazenada em um capacitor com dielétrico é dada por:
U = 12 C V^2
Primeiro, precisamos encontrar a capacitância C = 2pi varepsilon0 varepsilonr Lln( ba ) do capacitor cilíndrico com dielétrico.
A capacitância de um capacitor cilíndrico é:
U = 12 cdot 2pi varepsilon0 varepsilonr Lln( ba ) cdot ( Q2pi varepsilon0 varepsilonr L ln( ba ) )^2
Agora, substituindo U = 12 cdot 2pi varepsilon0 varepsilonr Lln( ba ) cdot Q^2 (ln( ba ))^24pi^2 varepsilon0^2 varepsilonr^2 L^2 e U = Q^2 ln( ba )4pi varepsilon0 varepsilonr L na expressão de :
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, a parte e): Calcular o trabalho mecânico necessário para remover o dielétrico do interior do capacitor sem atrito.
Quando removemos o dielétrico, estamos mudando a capacitância do capacitor. O trabalho necessário para fazer isso é igual à diferença de energia armazenada nos capacitores com e sem o dielétrico.
A energia sem o dielétrico U0 = 12 C0 V^2 é:
W = U - U0
Onde W = Q^2 ln( ba )4pi varepsilon0 varepsilonr L - Q^2 ln( ba )4pi varepsilon0 L
A energia com o dielétrico é W = Q^2 ln( ba )4pi varepsilon0 L ( 1varepsilonr - 1 ) = -Q^2 (varepsilonr - 1) ln( ba )4pi varepsilon0 varepsilonr L que já calculamos.
Então, o trabalho W = Q^2 (varepsilonr - 1) ln( ba )4pi varepsilon0 varepsilonr L é:
Substituindo:
Simplificando:
Como trabalho é uma quantidade positiva:

Resposta

A diferença de potencial entre os cilindros é dada por:
V = Q2pi varepsilon0 varepsilonr L ln( ba )
A densidade de carga livre nos cilindros interno e externo é:
sigmaf,interno = Q2pi a L e sigmaf,externo = -Q2pi b L
A densidade de carga ligada nas superfícies interna e externa do dielétrico é:
sigmab,interno = Q (varepsilonr - 1)2pi varepsilonr a L e sigmab,externo = -Q (varepsilonr - 1)2pi varepsilonr b L
A energia eletrostática total armazenada no capacitor é:
U = Q^2 ln( ba )4pi varepsilon0 varepsilonr L
O trabalho mecânico necessário para remover o dielétrico é:
W = Q^2 (varepsilonr - 1) ln( ba )4pi varepsilon0 varepsilonr L

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