Um capacitor é construído de dois cilindros concêntricos muito finos de raios a e ( ) tendo um comprimento . Uma carga de está no cilindro interno e uma carga de no cilindro externo. A região entre os dois cilindros é preenchido com um dielétrico tendo uma constante dielétrica . (a) Encontre a diferença de potencial entre os cilindros. (b) Encontre a densidade da carga livre no cilindro interno e o cilindro externo. © Encontre a densidade de carga ligada formada na superfície cilíndrica interna e na superficie externa do dielétrico. (d) Encontre a total energia eletrostática armazenada no capacitor. (e) Qual o trabalho mecânico necessário para remover sem atrito o dielétrico do interior do capacitor?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de um capacitor cilíndrico, que consiste em dois cilindros concêntricos com raios e ( ), separados por uma distância preenchida por um material dielétrico com constante dielétrica . Temos uma carga no cilindro interno e no externo. Precisamos resolver várias partes:
a) Encontrar a diferença de potencial entre os cilindros.
b) Determinar a densidade de carga livre nos cilindros internos e externos.
c) Calcular a densidade de carga ligada nas superfícies do dielétrico.
d) Encontrar a energia eletrostática total armazenada no capacitor.
e) Calcular o trabalho mecânico necessário para remover o dielétrico do capacitor.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico em geometria cilíndrica, Lei de Gauss, capacitores com dielétrico, densidade de carga e energia armazenada em um capacitor.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): Encontrar a diferença de potencial entre os cilindros.
Primeiro, precisamos calcular o campo elétrico entre os cilindros. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico em situações de simetria.
Considerando um cilindro de raio onde e comprimento , aplicamos a Lei de Gauss:
Aqui, e , onde é a permissividade do vácuo.
A área superficial do cilindro gaussiano é , e o campo elétrico é radial e constante em magnitude na superfície.
Então,
Resolvendo para :

Passo 3

Agora que temos o campo elétrico , podemos encontrar a diferença de potencial entre os cilindros interno e externo.
A diferença de potencial é dada pela integral do campo elétrico:
Substituindo :
Integrando:
Como a diferença de potencial é definida como , que no caso é positivo, podemos retirar o sinal negativo:

Passo 4

Vamos para a parte b): Encontrar a densidade de carga livre nos cilindros interno e externo.
A densidade de carga livre é a carga por unidade de área na superfície dos cilindros.
A área superficial de cada cilindro é:
Para o cilindro interno ( ):
Para o cilindro externo ( ):
Aqui, a carga no cilindro externo é .

Passo 5

Passando para a parte c): Encontrar a densidade de carga ligada na superfície interna e externa do dielétrico.
A densidade de carga ligada está relacionada à polarização do dielétrico. Para um material dielétrico linear, a densidade de carga ligada superficial é dada por:
Onde é a polarização e é o vetor normal à superfície.
Sabemos que a polarização está relacionada ao campo elétrico e à constante dielétrica e :
Onde é a suscetibilidade elétrica do material. Mas também sabemos que:
Para simplificar, podemos usar a relação:
Substituindo obtido anteriormente:
Para o cilindro interno ( ):
E para o cilindro externo ( ):

Passo 6

Vamos para a parte d): Encontrar a energia eletrostática total armazenada no capacitor.
A energia armazenada em um capacitor com dielétrico é dada por:
Primeiro, precisamos encontrar a capacitância do capacitor cilíndrico com dielétrico.
A capacitância de um capacitor cilíndrico é:
Agora, substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, a parte e): Calcular o trabalho mecânico necessário para remover o dielétrico do interior do capacitor sem atrito.
Quando removemos o dielétrico, estamos mudando a capacitância do capacitor. O trabalho necessário para fazer isso é igual à diferença de energia armazenada nos capacitores com e sem o dielétrico.
A energia sem o dielétrico é:
Onde
A energia com o dielétrico é que já calculamos.
Então, o trabalho é:
Substituindo:
Simplificando:
Como trabalho é uma quantidade positiva:

Resposta

A diferença de potencial entre os cilindros é dada por:
A densidade de carga livre nos cilindros interno e externo é:
A densidade de carga ligada nas superfícies interna e externa do dielétrico é:
A energia eletrostática total armazenada no capacitor é:
O trabalho mecânico necessário para remover o dielétrico é:

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