Um capacitor é construído de dois cilindros concêntricos muito finos de raios a e
(
) tendo um comprimento
. Uma carga de
está no cilindro interno e uma carga de
no cilindro externo. A região entre os dois cilindros é preenchido com um dielétrico tendo uma constante dielétrica
. (a) Encontre a diferença de potencial entre os cilindros. (b) Encontre a densidade da carga livre
no cilindro interno e o cilindro externo. © Encontre a densidade de carga ligada
formada na superfície cilíndrica interna e na superficie externa do dielétrico. (d) Encontre a total energia eletrostática armazenada no capacitor. (e) Qual o trabalho mecânico necessário para remover sem atrito o dielétrico do interior do capacitor?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de um capacitor cilíndrico, que consiste em dois cilindros concêntricos com raios
e
(
), separados por uma distância preenchida por um material dielétrico com constante dielétrica
. Temos uma carga
no cilindro interno e
no externo. Precisamos resolver várias partes:
a) Encontrar a diferença de potencial entre os cilindros.
b) Determinar a densidade de carga livre
nos cilindros internos e externos.
c) Calcular a densidade de carga ligada
nas superfícies do dielétrico.
d) Encontrar a energia eletrostática total armazenada no capacitor.
e) Calcular o trabalho mecânico necessário para remover o dielétrico do capacitor.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico em geometria cilíndrica, Lei de Gauss, capacitores com dielétrico, densidade de carga e energia armazenada em um capacitor.
Passo 2
Vamos começar pela parte a): Encontrar a diferença de potencial entre os cilindros.
Primeiro, precisamos calcular o campo elétrico entre os cilindros. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico em situações de simetria.
Considerando um cilindro de raio
onde
e comprimento
, aplicamos a Lei de Gauss:
Aqui,
e
, onde
é a permissividade do vácuo.
A área superficial do cilindro gaussiano é
, e o campo elétrico
é radial e constante em magnitude na superfície.
Então,
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora que temos o campo elétrico
, podemos encontrar a diferença de potencial
entre os cilindros interno e externo.
A diferença de potencial é dada pela integral do campo elétrico:
Substituindo
:
Integrando:
Como a diferença de potencial é definida como
, que no caso é positivo, podemos retirar o sinal negativo:
Passo 4
Vamos para a parte b): Encontrar a densidade de carga livre
nos cilindros interno e externo.
A densidade de carga livre
é a carga por unidade de área na superfície dos cilindros.
A área superficial de cada cilindro é:
Para o cilindro interno (
):
Para o cilindro externo (
):
Aqui, a carga no cilindro externo é
.
Passo 5
Passando para a parte c): Encontrar a densidade de carga ligada
na superfície interna e externa do dielétrico.
A densidade de carga ligada está relacionada à polarização do dielétrico. Para um material dielétrico linear, a densidade de carga ligada superficial
é dada por:
Onde
é a polarização e
é o vetor normal à superfície.
Sabemos que a polarização
está relacionada ao campo elétrico
e à constante dielétrica
e
:
Onde
é a suscetibilidade elétrica do material. Mas também sabemos que:
Para simplificar, podemos usar a relação:
Substituindo
obtido anteriormente:
Para o cilindro interno (
):
E para o cilindro externo (
):
Passo 6
Vamos para a parte d): Encontrar a energia eletrostática total armazenada no capacitor.
A energia armazenada em um capacitor com dielétrico é dada por:
Primeiro, precisamos encontrar a capacitância
do capacitor cilíndrico com dielétrico.
A capacitância de um capacitor cilíndrico é:
Agora, substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, a parte e): Calcular o trabalho mecânico necessário para remover o dielétrico do interior do capacitor sem atrito.
Quando removemos o dielétrico, estamos mudando a capacitância do capacitor. O trabalho necessário para fazer isso é igual à diferença de energia armazenada nos capacitores com e sem o dielétrico.
A energia sem o dielétrico
é:
Onde
A energia com o dielétrico é
que já calculamos.
Então, o trabalho
é:
Substituindo:
Simplificando:
Como trabalho é uma quantidade positiva:
Resposta
A diferença de potencial entre os cilindros é dada por:
A densidade de carga livre nos cilindros interno e externo é:
A densidade de carga ligada nas superfícies interna e externa do dielétrico é:
A energia eletrostática total armazenada no capacitor é:
O trabalho mecânico necessário para remover o dielétrico é:
Exercícios relacionados
Represente graficamente diferentes distribuições de Maxwell-Boltzmann mantendo constante a massa molar de
variando a temperatura da amostra de 200 K a 2000 K .
Uma esfera maciça, uma casca esférica, um cilindro maciço, uma casca cilíndrica, um disco e um anel delgado são soltos, a partir do repouso, do alto de uma rampa e rolam sem deslizar. Determine a ordem de chegada (mostre explicitamente).
Exercícios Capac…
Exercícios Capacitância
Exercícios Capacitância
- Um capacitor esférico é constituído de uma casca esférica interna de raio
com uma carga de e uma externa casca esférica concêntrica de raio com carga de . (a) Encontre o campo elétrico e a densidade de energia em qualquer ponto no espaço. (b) Calcule a energia total eletrostática armazenada no capacitor, e © compare o seu resultado com o obtido usando e determine a capacitância do capacitor esférico.
Três cascas cilíndricas condutoras concêntricas muito longas têm raios de
,
e
(
. O espaço entre elas é preenchido com ar. O mais interno e o mais externo dos cilindros são conectados entre si. Encontre a capacitância por unidade de comprimento deste sistema.