Exercícios Capac…
Exercícios Capacitância
- Um capacitor esférico é constituído de uma casca esférica interna de raio
com uma carga de
e uma externa casca esférica concêntrica de raio
com carga de
. (a) Encontre o campo elétrico e a densidade de energia em qualquer ponto no espaço. (b) Calcule a energia total eletrostática
armazenada no capacitor, e © compare o seu resultado com o obtido usando
e determine a capacitância do capacitor esférico.
Exercícios Capacitância
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de capacitância juntos! O enunciado fala sobre um capacitor esférico formado por duas cascas concêntricas: uma interna com raio
e carga
, e uma externa com raio
e carga
. Vamos precisar usar conceitos de campo elétrico, densidade de energia e energia eletrostática armazenada em capacitores. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico em qualquer ponto no espaço devido a essas duas cascas carregadas. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a determinar o campo elétrico de distribuições de carga simétricas.
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss, consideramos diferentes regiões:
-
Dentro da casca interna (
): Não há carga dentro dessa região, então o campo elétrico . -
Entre as cascas (
): A única carga que contribui para o campo é a carga da casca interna. Usando a Lei de Gauss: Resolvend
o para
:
- Fora das duas cascas (
): As cargas e se cancelam, então o campo elétrico .
Passo 4
Agora, vamos calcular a densidade de energia elétrica
em qualquer ponto no espaço. A densidade de energia é dada por:
Vamos aplicar isso nas regiões onde o campo elétrico não é zero, ou seja, entre
e
.
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia total eletrostática
armazenada no capacitor. Para isso, integramos a densidade de energia sobre todo o espaço onde o campo elétrico existe, ou seja, de
a
:
Resolvendo a integral:
Passo 6
Finalmente, vamos comparar esse resultado com a fórmula geral da energia eletrostática armazenada em um capacitor:
Igualando as duas expressões para
:
Resolvendo para a capacitância
:
Resposta
A capacitância do capacitor esférico é:
Exercícios relacionados
Um capacitor é construído de dois cilindros concêntricos muito finos de raios a e
(
) tendo um comprimento
. Uma carga de
está no cilindro interno e uma carga de
no cilindro externo. A região entre os dois cilindros é preenchido com um dielétrico tendo uma constante dielétrica
. (a) Encontre a diferença de potencial entre os cilindros. (b) Encontre a densidade da carga livre
no cilindro interno e o cilindro externo. © Encontre a densidade de carga ligada
formada na superfície cilíndrica interna e na superficie externa do dielétrico. (d) Encontre a total energia eletrostática armazenada no capacitor. (e) Qual o trabalho mecânico necessário para remover sem atrito o dielétrico do interior do capacitor?
Represente graficamente diferentes distribuições de Maxwell-Boltzmann mantendo constante a massa molar de
variando a temperatura da amostra de 200 K a 2000 K .
Três cascas cilíndricas condutoras concêntricas muito longas têm raios de
,
e
(
. O espaço entre elas é preenchido com ar. O mais interno e o mais externo dos cilindros são conectados entre si. Encontre a capacitância por unidade de comprimento deste sistema.
A esfera 1, de raio
, possui uma carga positiva q. A esfera 2 , de raio
, está muito afastada da esfera 1 e inicialmente descarregada. Quando as esferas são ligadas por um fio suficientemente fino para que a carga que contém possa ser desprezada, (a) o potencial
da esfera 1 se torna maior, menor ou igual ao potencial
da esfera 2? (b) Que fração da carga
permanece na esfera 1? © Que fração da carga
é transferida para a esfera 2? (d) Qual é a razão
entre as cargas das duas esferas?