Exercícios Capac…
Exercícios Capacitância
  1. Um capacitor esférico é constituído de uma casca esférica interna de raio R1 com uma carga de +Q e uma externa casca esférica concêntrica de raio R2 com carga de -Q. (a) Encontre o campo elétrico e a densidade de energia em qualquer ponto no espaço. (b) Calcule a energia total eletrostática U armazenada no capacitor, e © compare o seu resultado com o obtido usando U=Q^2 / 2 C e determine a capacitância do capacitor esférico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de capacitância juntos! O enunciado fala sobre um capacitor esférico formado por duas cascas concêntricas: uma interna com raio e carga , e uma externa com raio e carga . Vamos precisar usar conceitos de campo elétrico, densidade de energia e energia eletrostática armazenada em capacitores. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico em qualquer ponto no espaço devido a essas duas cascas carregadas. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a determinar o campo elétrico de distribuições de carga simétricas.

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss, consideramos diferentes regiões:
  1. Dentro da casca interna ( E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 ): Não há carga dentro dessa região, então o campo elétrico E = Q4pi varepsilon0 r^2 .
  2. Entre as cascas ( ): A única carga que contribui para o campo é a carga da casca interna. Usando a Lei de Gauss:
    Resolvend
o para :
  1. Fora das duas cascas ( ): As cargas e se cancelam, então o campo elétrico .

Passo 4

Agora, vamos calcular a densidade de energia elétrica u = 12 varepsilon0 E^2 em qualquer ponto no espaço. A densidade de energia é dada por:
u = 12 varepsilon0 ( Q4pi varepsilon0 r^2 )^2 = Q^232 pi^2 varepsilon0 r^4
Vamos aplicar isso nas regiões onde o campo elétrico não é zero, ou seja, entre e .
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia total eletrostática U = integralR1^R2 u cdot 4pi r^2 dr = integralR1^R2 Q^232 pi^2 varepsilon0 r^4 cdot 4pi r^2 dr = Q^28 pi varepsilon0 integralR1^R2 1r^2 dr armazenada no capacitor. Para isso, integramos a densidade de energia sobre todo o espaço onde o campo elétrico existe, ou seja, de U = Q^28 pi varepsilon0 ( -1r )R1^R2 = Q^28 pi varepsilon0 ( 1R1 - 1R2 ) a :
Resolvendo a integral:

Passo 6

Finalmente, vamos comparar esse resultado com a fórmula geral da energia eletrostática armazenada em um capacitor:
U = Q^22 C
Igualando as duas expressões para Q^28 pi varepsilon0 ( 1R1 - 1R2 ) = Q^22 C :
C = 4 pi varepsilon0 ( R1 R2R2 - R1 )
Resolvendo para a capacitância :

Resposta

A capacitância do capacitor esférico é:
C = 4 pi varepsilon0 ( R1 R2R2 - R1 )

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