Exercícios Capac…
Exercícios Capacitância
- Um capacitor esférico é constituído de uma casca esférica interna de raio
com uma carga de
e uma externa casca esférica concêntrica de raio
com carga de
. (a) Encontre o campo elétrico e a densidade de energia em qualquer ponto no espaço. (b) Calcule a energia total eletrostática
armazenada no capacitor, e © compare o seu resultado com o obtido usando
e determine a capacitância do capacitor esférico.
Exercícios Capacitância
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de capacitância juntos! O enunciado fala sobre um capacitor esférico formado por duas cascas concêntricas: uma interna com raio
e carga
, e uma externa com raio
e carga
. Vamos precisar usar conceitos de campo elétrico, densidade de energia e energia eletrostática armazenada em capacitores. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico em qualquer ponto no espaço devido a essas duas cascas carregadas. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a determinar o campo elétrico de distribuições de carga simétricas.
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss, consideramos diferentes regiões:
-
Dentro da casca interna (
): Não há carga dentro dessa região, então o campo elétrico . -
Entre as cascas (
): A única carga que contribui para o campo é a carga da casca interna. Usando a Lei de Gauss: Resolvend
o para
:
- Fora das duas cascas (
): As cargas e se cancelam, então o campo elétrico .
Passo 4
Agora, vamos calcular a densidade de energia elétrica
em qualquer ponto no espaço. A densidade de energia é dada por:
Vamos aplicar isso nas regiões onde o campo elétrico não é zero, ou seja, entre
e
.
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia total eletrostática
armazenada no capacitor. Para isso, integramos a densidade de energia sobre todo o espaço onde o campo elétrico existe, ou seja, de
a
:
Resolvendo a integral:
Passo 6
Finalmente, vamos comparar esse resultado com a fórmula geral da energia eletrostática armazenada em um capacitor:
Igualando as duas expressões para
:
Resolvendo para a capacitância
:
Resposta
A capacitância do capacitor esférico é: