Uma esfera maciça, uma casca esférica, um cilindro maciço, uma casca cilíndrica, um disco e um anel delgado são soltos, a partir do repouso, do alto de uma rampa e rolam sem deslizar. Determine a ordem de chegada (mostre explicitamente).

Passo 1

Resumo da questão: Temos uma esfera maciça, uma casca esférica, um cilindro maciço, uma casca cilíndrica, um disco e um anel delgado que são soltos do alto de uma rampa e rolam sem deslizar. Nosso objetivo é determinar a ordem em que esses objetos chegam ao final da rampa.
Matéria envolvida: Vamos utilizar conceitos de dinâmica de rotação e momento de inércia para resolver esse problema.

Passo 2

Entendendo o Movimento de Rolamento: Quando um objeto rola sem deslizar, sua aceleração depende de como sua massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Isso é quantificado pelo momento de inércia (I), que varia de acordo com a forma do objeto.

Passo 3

Fórmula da Aceleração: A aceleração ( a = g cdot sin(theta)1 + Im cdot r^2 ) de um objeto rolando sem deslizar por uma rampa é dada por:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é o ângulo da rampa,
  • é o momento de inércia do objeto,
  • é a massa do objeto,
  • é o raio do objeto.
Importância: Quanto menor o momento de inércia ( ), maior será a aceleração do objeto, fazendo com que ele chegue primeiro ao final da rampa.

Passo 4

Momentos de Inércia dos Objetos:
  1. Esfera Maciça: I = 25 m r^2
  2. Casca Esférica: I = 23 m r^2
  3. Cilindro Maciço: I = 12 m r^2
  4. Casca Cilíndrica: I = m r^2
  5. Disco: I = 12 m r^2
  6. Anel Delgado: I = m r^2

Passo 5

Calculando a Aceleração de Cada Objeto:
Substituindo os valores de a = g cdot sin(theta)1 + 25 = g cdot sin(theta)75 = 57 g cdot sin(theta) approx 0,714 , g cdot sin(theta) na fórmula da aceleração:
  1. Esfera Maciça:
    a = g cdot sin(theta)1 + 23 = g cdot sin(theta)53 = 35 g cdot sin(theta) = 0,6 , g cdot sin(theta)
  2. Casca Esférica:
    a = g cdot sin(theta)1 + 12 = g cdot sin(theta)32 = 23 g cdot sin(theta) approx 0,666 , g cdot sin(theta)
  3. Cilindro Maciço:
    a = g cdot sin(theta)1 + 1 = g cdot sin(theta)2 = 0,5 , g cdot sin(theta)
  4. Casca Cilíndrica:
    a = g cdot sin(theta)1 + 12 = 23 g cdot sin(theta) approx 0,666 , g cdot sin(theta)
  5. Disco:
    a = g cdot sin(theta)1 + 1 = g cdot sin(theta)2 = 0,5 , g cdot sin(theta)
  6. Anel Delgado:

Passo 6

Ordenando as Acelerações:
Agora, vamos listar as acelerações de cada objeto:
  1. Esfera Maciça:
  2. Cilindro Maciço:
  3. Disco:
  4. Casca Esférica:
  5. Casca Cilíndrica:
  6. Anel Delgado:
Nota: Cilindro Maciço e Disco têm a mesma aceleração, assim como Casca Cilíndrica e Anel Delgado.

Resposta

A ordem de chegada dos objetos no final da rampa é:
Esfera Maciça > Cilindro Maciço = Disco > Casca Esférica > Casca Cilíndrica = Anel Delgado

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