Uma esfera maciça, uma casca esférica, um cilindro maciço, uma casca cilíndrica, um disco e um anel delgado são soltos, a partir do repouso, do alto de uma rampa e rolam sem deslizar. Determine a ordem de chegada (mostre explicitamente).
Passo 1
Resumo da questão: Temos uma esfera maciça, uma casca esférica, um cilindro maciço, uma casca cilíndrica, um disco e um anel delgado que são soltos do alto de uma rampa e rolam sem deslizar. Nosso objetivo é determinar a ordem em que esses objetos chegam ao final da rampa.
Matéria envolvida: Vamos utilizar conceitos de dinâmica de rotação e momento de inércia para resolver esse problema.
Passo 2
Entendendo o Movimento de Rolamento: Quando um objeto rola sem deslizar, sua aceleração depende de como sua massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Isso é quantificado pelo momento de inércia (I), que varia de acordo com a forma do objeto.
Passo 3
Fórmula da Aceleração: A aceleração (
) de um objeto rolando sem deslizar por uma rampa é dada por:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade ( ), -
é o ângulo da rampa, -
é o momento de inércia do objeto, -
é a massa do objeto, -
é o raio do objeto.
Importância: Quanto menor o momento de inércia (
), maior será a aceleração do objeto, fazendo com que ele chegue primeiro ao final da rampa.
Passo 4
Momentos de Inércia dos Objetos:
- Esfera Maciça:
- Casca Esférica:
- Cilindro Maciço:
- Casca Cilíndrica:
- Disco:
- Anel Delgado:
Passo 5
Calculando a Aceleração de Cada Objeto:
Substituindo os valores de
na fórmula da aceleração:
-
Esfera Maciça:
-
Casca Esférica:
-
Cilindro Maciço:
-
Casca Cilíndrica:
-
Disco:
-
Anel Delgado:
Passo 6
Ordenando as Acelerações:
Agora, vamos listar as acelerações de cada objeto:
- Esfera Maciça:
- Cilindro Maciço:
- Disco:
- Casca Esférica:
- Casca Cilíndrica:
- Anel Delgado:
Nota: Cilindro Maciço e Disco têm a mesma aceleração, assim como Casca Cilíndrica e Anel Delgado.
Resposta
A ordem de chegada dos objetos no final da rampa é:
Esfera Maciça > Cilindro Maciço = Disco > Casca Esférica > Casca Cilíndrica = Anel Delgado