Um capacitor esférico, formado por uma esfera maciça condutora de raio interno R1 e raio externo R2, está carregado com uma carga total Q.
a) Calcule a capacitância em função dos raios.
b) Descreva o que ocorre com a capacitância, com o potencial e com a carga, caso seja inserido um dielétrico na região interna aos capacitores

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre um capacitor esférico formado por duas esferas condutoras com raios internos e externos , carregado com uma carga total . A gente vai trabalhar com eletrostática, especificamente com capacitância de capacitores esféricos. Precisaremos usar a fórmula da capacitância para esse tipo de capacitor e entender como os raios e a presença de um dielétrico influenciam nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a capacitância do capacitor esférico sem dielétrico. Lembre-se que a capacitância C = QV é dada pela relação entre a carga e a diferença de potencial :

Passo 3

Para um capacitor esférico, a diferença de potencial V = kQr entre as duas esferas pode ser encontrada usando a fórmula do potencial elétrico. O potencial devido a uma esfera condutora carregada com carga a uma distância do centro é:
onde é a constante eletrostática.

Passo 4

A diferença de potencial entre as duas esferas é a diferença entre os potenciais nas superfícies das esferas externas e internas:
V = V(R1) - V(R2) = kQR1 - kQR2 = kQ ( 1R1 - 1R2 )

Passo 5

Substituindo C = QV = QkQ ( 1R1 - 1R2 ) = 1k ( 1R1 - 1R2 ) na fórmula da capacitância:

Passo 6

Simplificando a expressão, lembrando que C = 4pivarepsilon0 R1 R2R2 - R1 :

Passo 7

Agora, vamos para a parte b) do exercício, que pede para descrever o que acontece com a capacitância, com o potencial e com a carga ao inserir um dielétrico na região interna do capacitor.
Quando inserimos um dielétrico, a capacitância aumenta. Isso ocorre porque o dielétrico reduz a força elétrica entre as cargas, permitindo que mais carga seja armazenada para o mesmo potencial. A relação entre a capacitância com dielétrico ( Cd = kappa C ) e sem dielétrico ( ) é:
onde é a constante dielétrica do material.

Passo 8

Com o aumento da capacitância ( ), para manter a mesma carga , a diferença de potencial diminui, já que . Ou seja, o potencial entre as esferas diminui.

Passo 9

Além disso, se inserirmos o dielétrico mantendo o potencial constante, a carga armazenada aumentará proporcionalmente à capacitância aumentada.

Resposta

a) A capacitância do capacitor esférico é:
C = 4pi varepsilon0 R1 R2R2 - R1
b) Ao inserir um dielétrico na região interna do capacitor:
  • Capacitância: Aumenta, pois o dielétrico permite armazenar mais carga para o mesmo potencial.
  • Potencial ( ): Diminui se a carga for mantida constante, já que .
  • Carga ( ): Aumenta se o potencial for mantido constante, visto que .

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