Um capacitor esférico, formado por uma esfera maciça condutora de raio interno R1 e raio externo R2, está carregado com uma carga total
.
a) Calcule a capacitância em função dos raios.
b) Descreva o que ocorre com a capacitância, com o potencial e com a carga, caso seja inserido um dielétrico na região interna aos capacitores
a) Calcule a capacitância em função dos raios.
b) Descreva o que ocorre com a capacitância, com o potencial e com a carga, caso seja inserido um dielétrico na região interna aos capacitores
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre um capacitor esférico formado por duas esferas condutoras com raios internos
e externos
, carregado com uma carga total
. A gente vai trabalhar com eletrostática, especificamente com capacitância de capacitores esféricos. Precisaremos usar a fórmula da capacitância para esse tipo de capacitor e entender como os raios e a presença de um dielétrico influenciam nisso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a capacitância do capacitor esférico sem dielétrico. Lembre-se que a capacitância
é dada pela relação entre a carga
e a diferença de potencial
:
Passo 3
Para um capacitor esférico, a diferença de potencial
entre as duas esferas pode ser encontrada usando a fórmula do potencial elétrico. O potencial devido a uma esfera condutora carregada com carga
a uma distância
do centro é:
onde
é a constante eletrostática.
Passo 4
A diferença de potencial entre as duas esferas é a diferença entre os potenciais nas superfícies das esferas externas e internas:
Passo 5
Substituindo
na fórmula da capacitância:
Passo 6
Simplificando a expressão, lembrando que
:
Passo 7
Agora, vamos para a parte b) do exercício, que pede para descrever o que acontece com a capacitância, com o potencial e com a carga ao inserir um dielétrico na região interna do capacitor.
Quando inserimos um dielétrico, a capacitância aumenta. Isso ocorre porque o dielétrico reduz a força elétrica entre as cargas, permitindo que mais carga seja armazenada para o mesmo potencial. A relação entre a capacitância com dielétrico (
) e sem dielétrico (
) é:
onde
é a constante dielétrica do material.
Passo 8
Com o aumento da capacitância (
), para manter a mesma carga
, a diferença de potencial
diminui, já que
. Ou seja, o potencial entre as esferas diminui.
Passo 9
Além disso, se inserirmos o dielétrico mantendo o potencial constante, a carga
armazenada aumentará proporcionalmente à capacitância aumentada.
Resposta
a) A capacitância do capacitor esférico é:
b) Ao inserir um dielétrico na região interna do capacitor:
- Capacitância: Aumenta, pois o dielétrico permite armazenar mais carga para o mesmo potencial.
- Potencial (
): Diminui se a carga for mantida constante, já que . - Carga (
): Aumenta se o potencial for mantido constante, visto que .