Um fio de cobre de raio R1 e um fio de ferro de raio R2, ambos com mesmo comprimento L, estão sob a mesma diferença de potencial VAB.
a) Sabendo que a condutividade do cobre é aproximadamente 6 vezes a condutividade do ferro, determine a razão entre os raios, para que a corrente seja a mesma nos dois fios.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois fios, um de cobre e outro de ferro, com raios e respectivamente, ambos com o mesmo comprimento e submetidos à mesma diferença de potencial . Sabemos que a condutividade do cobre é aproximadamente 6 vezes a do ferro. Precisamos descobrir qual deve ser a razão entre os raios desses fios para que a corrente que passa por eles seja a mesma. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condutividade elétrica e a relação entre corrente, área da seção transversal e diferença de potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a corrente elétrica I = sigma cdot A cdot VL que passa por um fio:
Onde:
  • é a condutividade elétrica do material,
  • é a área da seção transversal do fio,
  • é a diferença de potencial,
  • é o comprimento do fio.

Passo 3

Como ambos os fios têm o mesmo comprimento Icobre = sigmacobre cdot Acobre e estão sob a mesma diferença de potencial Iferro = sigmaferro cdot Aferro , podemos simplificar a fórmula da corrente para ambos:
sigmacobre cdot Acobre = sigmaferro cdot Aferro
Como queremos que as correntes sejam iguais ( ), podemos igualar as duas expressões:

Passo 4

Sabemos que a área da seção transversal de um fio é dada por sigmacobre cdot pi R1^2 = sigmaferro cdot pi R2^2 . Vamos substituir isso na equação:
sigmacobre cdot R1^2 = sigmaferro cdot R2^2
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 6 cdot sigmaferro cdot R1^2 = sigmaferro cdot R2^2 :
6 R1^2 = R2^2
Sabemos que , então substituindo:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos resolver para a razão entre os raios 6 R1^2 = R2^2 Rightarrow R1^2 = R2^26 Rightarrow R1R2 = 1raiz6 approx 0,408 :

Resposta

A razão entre os raios dos fios deve ser , ou aproximadamente 0,408, para que a corrente seja a mesma nos dois fios.

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