Um capacitor é formado por duas cascas condutoras esféricas no vácuo. A esfera interior tem raio a=0,12 m e a exterior tem raio b=0,21 m. Aplica-se uma diferença de potencial de V=167,06 V no capacitor. Qual a densidade de energia ( em J / m^3 ) em r=0,18 m ? Use epsilon0=9 times 10^-12 C^2 /(N m^2).

7,16 e-06

nenhuma das outras
4,66 e-06
9,38 e-06

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um capacitor formado por duas esferas condutoras no vácuo, com raios de 0,12 m (esfera interna) e 0,21 m (esfera externa). Foi aplicada uma diferença de potencial de 167,06 V nesse capacitor. A gente precisa encontrar a densidade de energia elétrica em um ponto específico, onde o raio é 0,18 m. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico em capacitores esféricos e a fórmula da densidade de energia elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o campo elétrico entre as esferas do capacitor. Para uma configuração esférica, o campo elétrico E(r) = Q4pi varepsilon0 r^2 em uma distância do centro é dado por:
onde:
  • é a carga elétrica nas esferas,
  • é a permissividade do vácuo ( ),
  • é a distância do centro.

Passo 3

Como não temos o valor da carga V = Q4pi varepsilon0 ( 1a - 1b ) , precisamos relacionar isso com a diferença de potencial Q = V cdot 4pi varepsilon0 ( 1a - 1b )^-1 . A diferença de potencial entre as duas esferas é dada por:
Q = 167,06 cdot 4pi cdot 9 times 10^-12 cdot ( 10,12 - 10,21 )^-1
Rearranjando para encontrar :
Substituindo os valores:
Vamos calcular :

Passo 4

Após calcular E(0,18) = Q4pi varepsilon0 (0,18)^2 , podemos encontrar o campo elétrico na distância :

Passo 5

Agora que temos o campo elétrico, podemos calcular a densidade de energia elétrica u = 12 varepsilon0 E^2 usando a fórmula:
Substituímos o valor de encontrado no passo anterior para obter .

Resposta

A densidade de energia elétrica em é aproximadamente .

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